développements limités appliqués aux fonctions trigonométriques


  • M

    Bonjour,

    je dois calculé des développements limités dans mon TD de physique mais je n'ai jamais eu de cours là dessus quelqu'un pourrait - il m'aider ?! Merci

    Démontrer les expressions suivantes

    sinx=x+o(x3)sin x = x + o (x^3)sinx=x+o(x3)

    cosx=1−x22+o(x4)cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o (x^4)cosx=12x2+o(x4)

    tanx=x+o(x3)tan x = x + o (x^3)tanx=x+o(x3)

    les angles sont en radians

    alors j'ai utlisé la formule de Taylor et j'ai calculé le développement limité à l'ordre 2 de sinsinsin de coscoscos et de tantantan

    ce que je ne comprends pas c'est la fin de l'expression les o(x3)o (x^3)o(x3)

    j'arrive a trouver

    sinx=xsin x = xsinx=x

    cosx=1−x22cos x = 1 - \frac{x^2}{2}cosx=12x2

    tanx=xtan x = xtanx=x

    mais c'est tout
    pourquoi on n'a pas o(x2)o (x^2)o(x2) si c'est un développement limité d'ordre 2 ???!!

    merci


  • M

    Bon alors ensuite on me demande

    calculer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction

    g(y)=ay2+cy5g(y) = ay^2 + cy^5g(y)=ay2+cy5

    autour de y0=13y_0 = \frac{1}{3}y0=31

    alors on a g′(y)=2ay+5cy4g' (y) = 2ay + 5cy^4g(y)=2ay+5cy4

    g′′(y)=2a+20cy3g''(y) = 2a + 20cy^3g(y)=2a+20cy3

    donc avec la formule de Taylor j'ai

    g(y)=(a132+c135)+(2a13+5c134)×(y−13)+(2a+20c133)×(y−13)2×12!+o(y−13)2g(y) = ( a\frac{1}{3^2} + c \frac{1}{3^5}) + (2a\frac{1}{3} + 5c\frac{1}{3^4})\times (y- \frac{1}{3}) + (2a + 20c\frac{1}{3^3})\times (y-\frac{1}{3})^2\times \frac{1}{2!} + o (y- \frac{1}{3})^2g(y)=(a321+c351)+(2a31+5c341)×(y31)+(2a+20c331)×(y31)2×2!1+o(y31)2

    c'est bon ?! et ensuite j'en fais quoi de ce truc je développe tout ?!
    merci

    modification pour la dernière expression ce sont des y et non des x bien sûr


  • J

    Salut.

    Premier post :

    Tout dépend de la notation : soit c'est des "petits o", et alors c'est faux, soit ce sont des "grands O", et alors c'est juste.

    De toute manière, si on te demande de montrer ça, il faut pousser tes développements aux ordres 3 et 4, ce que tu n'as apparemment pas fait.

    Si ce sont des "grands O", leur utilisation est justifiée par le fait que les termes d'ordres intermédiaires sont nuls et que ceux de l'ordre en question ne le sont justement pas.

    Second post :

    Après ça, ben je ne vois pas de simplifications (des petits o d'ordres supérieurs qui apparaîtraient dans les calculs), donc tu fais comme tu veux. 😁

    Le seul reproche que je peux faire, c'est que tu as écrit des x-1/3 au lieu d'utiliser y.

    @+


  • Zorro

    Coucou

    cos(x)= 1 - x2x^2x2/2! + x4x^4x4/4! - x6x^6x6/6! + x8x^8x8/8! -...

    sin(x)= x - x3x^3x3/3! + x5x^5x5/5! - x7x^7x7/7! + ...

    tan(x)= x + x3x^3x3/3 + 2<em>x52<em>x^52<em>x5/15 + 17</em>x717</em>x^717</em>x7/315 +...

    Donc pour cos , tu trouves bien un 4^44 après x2x^2x2/2!

    pour sin et pour tan , tu trouves un x3x^3x3 après le x

    Pour la 2 je te fais confiance ... il y a juste un souci avec ton x-1/3 au lieu de y-1/3


  • M

    re
    alors ce sont des ooo des grands donc ce sont des développements limités d'ordre 2 qu'il y a dans l'énoncé ou d'ordre 3 et 4
    je ne comprends parce qu'en utlisant la formule avec un ordre de 2 je trouve bien comme l'énoncé suaf pour les o(x3)o(x^3)o(x3)
    pourquoi pas de o(x2)o(x^2)o(x2)
    j'ai du mal oui je sais XD

    merci pour le second post ;)j'ai mis 1/3 car on me dit que c'est autour de 1/3


  • M

    a ok ok oui erreur d'inattention bien sur merci Zorro


  • J

    Salut.

    Non je critiquais juste l'utilisation de x au lieu de y. 😄

    Si ce sont des grands O, alors c'est tout à fait normal. Un grand O, ça veut dire que l'on est du même ordre de grandeur. Tu peux tout à fait utiliser un o(x²), mais le fait que l'on te donne des O(x³) montre que la question cachée, c'est de montrer que les termes de l'ordre de x² sont nuls, ce qui est le cas.

    Comme ils sont nuls, alors on "saute" l'ordre en x² pour aller à l'ordre en x³. Mais comme on ne veut pas calculer le terme exact, alors on te dit que c'est un truc qui est de l'ordre de grandeur de x³. C'est juste utilisé pour augmenter la précision de ton développement.

    @+


  • M

    ok ok je pense que je comprends ouè
    merci Jeet-Chris merci Zorro XD
    attention je vais vous en mettre d'autres 😄


  • M

    j'ai une nouvelle question
    après que je me sois amusée avec ces développements on me donne un exercice d'application

    *a)Un avion survolant le campus forme la base d'un triangle (isocèle) dont l'angle opposé est de 1° (l'angle sous lequel l'observateur voit l'avion). On supposera que l'observateur est situé au sommet de cet angle et que l'avion est perpendiculaire a la bissectrice. Sachantque l'avion mesure 100m de long, calculez la distance à laquelle il se trouve (par rapport à l'observateur). *

    Bon alors là je ne vois pas du tout le rapport avec les développements limités j'ai utilisé tantantan et je trouve 5729 m.

    Par ailleurs, sachant que l'angle par rapport à l'horizon est de 30°,calculez son altitude et sa distance au sol.

    je ne vois pas du tout ce qu'ils veulent nous faire calculer c'est pas l'altitude qu'on vient de calculer.

    b) Si l'avion mesurait 133.33=43×100133.33 = \frac{4}{3} \times 100133.33=34×100 m, quelles auraient été ces mêmes distances ? Faites le calcul exact.

    c) Utilisez des développements limités au premier ordre pour estimer les résultats à la question précédente. Calculez les erreurs dûes à l'utilisation des développements limités. Expliquez votre résultat.

    alors pour la c) non plus je ne vois pas parce que je ne sais pas vraiment a quoi ça sert le développement limité lol

    je vais faire une figure pour vous montrer comment je vois le truc

    http://www.hiboox.com/vignettes/0307/ff96b46f.jpg


  • M

    je pense que ma figure doit être fausse parce que je ne vois pas à quoi il correspond l'angle de 30 °


  • M

    Bon alors j'ai laissé tomber l'histoire avec le 30° parce que je ne vois pas ce que c'est et parce que ce qu'ils me demandent me perturbe
    je pensais que l'altitude et la distance au sol étaient la même chose ... lol

    vu que j'ai trouvé l'altitude à l'aide de la tangente et qu'on m'a parlé de développement limité de la tangente dans le premier exercice je pense que je suis sur la bonne piste nan ?!
    pour un avion 133,33 m je trouve une altitude environ égale à 7600m

    donc pour la question c) si j'ai "bien " compris ces histoire de DL je dois faire le DL au premier ordre de tantantan autour de 1° soit π180\frac{\pi}{180}180π en radian

    ce qui me donne

    tan(x)=tan(π180)+(1+tan2(π180))(x−π180)tan (x ) = tan (\frac{\pi}{180}) + (1 + tan ^2 ( \frac{\pi}{180})) (x - \frac{\pi}{180})tan(x)=tan(180π)+(1+tan2(180π))(x180π)

    le problème c'est que je ne vois pas ce que je peux faire de ce truc ... comment le comparer avec les valeurs calculées précédemment...


  • M

    alors j'ai fait un nouveau truc parce qu'en plus je m'étais trompée c'était
    pour un angle de 0.5° donc pour π360\frac{\pi}{360}360π rad

    j'ai pris le développement limité à l'ordre 1 autour de 0 (l'expression du premier exercice)

    j'ai mis que tan(π360)=π360tan (\frac{\pi}{360}) = \frac{\pi}{360}tan(360π)=360π

    donc voilà ensuite dans mes premiers calculs je remplace mes tan(0.5) par π360\frac{\pi}{360}360π

    avant j'avais
    tan(0.5)=2003motan (0.5) = \frac{200}{3mo}tan(0.5)=3mo200

    mo=2003tan(0.5)mo = \frac{200}{3 tan (0.5)}mo=3tan(0.5)200

    mo=2003mo = \frac{200}{3 }mo=3200

    MO = altitude
    je rapelle que l'avion fait 43×100\frac{4}{3} \times 10034×100 m ^^

    maintenant j'ai mis

    mo=2003π360mo = \frac{200}{3 \frac{\pi}{360} }mo=3360π200

    bon alors j'ai quasiment le même résultat (youpi) avec les deux méthodes par contre ce qui me gène c'est que je trouve comme pourcentage d'erreur 0.003% alors bon voilà je trouve ça un peu petit surtout que j'ai lu que plus on allait loins dans le DL plus c'était précis ...

    là je me demande comment on pourrait dire que ce n'est pas précis ^^

    me suis je encore trompée ?!


  • M

    bon alors ma figure était fausse c'était donc normal que je ne comprenne rien
    en fait l'avion décole ou un truc du genre je pense

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