Etude de limites et Etudes de variations

Svp je suis coincé sur cet exo qui vaut 8 point help!! : ((

On considere la fonction f définie sur ] -infini ; 0 [U] 0 ; +infini[ par :
f(x)= (x+1)(x+3)/x² et sa représentation graphique (cf) .

Etude de limites
a)Etudier la limite de f en -infini, en +infini;
b) Etudier la limite de f en 0

2)Etude des variations
a)Montrer que le dérivé de f est définie par : f'(x)= -2(2x+3)/x^3
b)Etudier le signe de f'(x)
c)Dresser le tableau des variations de f
3)Calculer léquation de la tangente (T)a (Cf) au point d'abscisse 2.

Merci bcp!!

salut Afrit!
J'espère qu'il n'est pas trop tard pour te répondre!
Bon...voyons ce "problème":
f(x) = (x+1)(x+3)/x²
1/a/Tu as une forme indéterminée de la forme +infini/+infine(et pour x ->+ et -infini!)
quels sont les outils que tu as?
je pense que tu peux déjà factoriser par x²... ces x² vont disparaître et il devrait te rester:1 + 4/x + 3/x² ...
mais comme x tend vers l'infini, les 4/x et 3/x² tendent vers 0 donc ta limite dans les 2 cas c'est 1!...mais c'était prévisible:si tu ne te souvenais plus de cette méthode tu sais néanmoins que lorsqu'une fonction est un quotient et que chaque partie est un polynome...tu sais que la limite du quotient est égale à la limite des monomes de plus haut degré!je m'explique:ici dans les 2 cas:
lim f(x) = lim x²/x² = 1
bon 1/a/:FAIT!!
b/en 0...ah!Et tu sais que f(x) n'est pas définie en 0 donc il faut que tu étudies la limite à gauche de 0 et celle à droite de 0!
Et...comme par hasard...la méthode précédente correspond aussi...c'est dingue?!...je suis trop forte!
Donc tu factorises par x²...tu obtiens le même truc que tout à l'heure!
...et je te laisse faire ce petit bout tuot seul:il faut que tu bosses un peu!
1/b/:FAIT
2/a/la dérivée...ne me dis pas que tu n'y arrives pas!!!en plus on te donne la solution!!un petit coup de pouce?:tu développes en haut et tu as
x² +4x +3...et tu utilises ensuite la formule (u/v)'=(vu' - uv')/v²...et tu simplifies...
2/a/:FAIT
b/pour le signe:le dénominateur a une puissance impaire et il va falloir en tenir compte!
bon tu sais que f n'est pas définie pour x=0(il ne faut pas l'oublier!)mais tu as vu qu'elle admet une limite à gauche de 0 et à droite!!et tu sais aussi d'après le 1/ que la droite admet une asymptote horizontale en + et -infini d'équation y= 1
en prenant la dérivée que l'on me donne:pour quelle(s) valeur(s) le numérateur s'annule-t-il?cette valeur(je t'aide il y en a une)correspond à un extrêmum de la fonction...il te reste à trouver les signes!!
2/b/:FAIT
c/tableau de variation:c'est ni plus ni moins que ce que tu as fait précédammant:tu reportes le tout dans un super tableau!
2/c/:FAIT!
3/pour cette question tu dois avoir une formule dans le cours!
alors de mémoire c'est un truc du style:
T(x) = (x -a)f'(a) + f(a) avec dans ton exo a=2...mais je ne suis pas sûre de cette formule:vérifies!
3/FAIT!!
Voilà!
J'espère que j'ai pu t'aider!N'hésites surtout pas à redemander si tu n'as pas compris!
Bizzz
Nel

Merci beaucoup Nelly pour ton aide et ta bonne humeur, j'obtiens les meme réponses pour la 1) et j'ai compris mes erreurs pour la 2) ,... merci en tout cas

salut Afrit!
Mais c'est avec grand plaisir!Si tu as d'autres questions ou d'autres problèmes:n'hésites surtout pas à me(ou nous) les faire savoir!!
Biz et bon courage!