Etudier une fonction comportant Ln

Bonjour, voilà alors en fait j'ai cet exercice à finir (et un autre que je posterais plus tard qui n'est pas sur les fonctions) et j'ai quelques petites questions donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil

Voilà le sujet :

Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
f(x) = (ln x)²/x

et on me demande de calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0, j'ai commencé par mettre la limite de x qui est 0 mais pour (ln x)² en fait j'ai un petit doûte avec le ², j'ai vu dans mon cours que la limite de ln x quand x tend vers 0 est égale à -∞ mais je préfère avoir confirmation pour savoir si c'est pareil au carré ?

ensuite on me demande de démontrer que f(x) = 4((ln√x)/√x)² et là je bloque

Merci d'avance

coucou

$\frac{(\ln x)^2}{x}$ pour $\in ]0 ; {+}\infty[$

donc
comme tu l'as dit la limite de $x$ en $0$ c'est $0$ donc

$lim⁡x→0+1x=+∞\lim _{x \rightarrow 0^+}\frac{1}{x} = {+} \infty$

et

$lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x = {-} \infty$

tu vas calculer

$lim⁡x→0+ln⁡x×ln⁡x\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x \times \ln x$

donc ...

donc conclusion ...

$lim⁡x→0+ln⁡x×ln⁡x\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x \times \ln x$
c'est égal à +∞ alors ?
et après est-ce que ça donne +∞ / 0 = +∞ ?

oui et non
bravo pour la limite que je t'ai fait calculer ^^
ensuite tu as un produit (encore)

$lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+((ln⁡x)2×1x)=\lim _{x \rightarrow 0^+}f(x) =\lim _{x \rightarrow 0^+}((\ln x)^2 \times \frac{1}{x}) =$

ok merci donc ça fait +∞ x +∞ = +∞ ?

pour la 2ème question j'y vois plus clair après avoir vu la limite, mais comme il faut démontrer je me demande comment commencer ? est-ce que je remplace (ln x)² par lnx*lnx et je mets toute la fraction au carré ?

re
oui c'est bon
alors est ce que la fonction qu'on demande de trouver c'est bien pour x > 0

$4(\frac{ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2$

il n'y a pas de précision donc je suppose qu'on reste sur x > 0 , comme en plus après on me demande d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞

bon je pense que c'est bien ça en effet

tu poses $4(\frac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2$ pour tout $x$ srtictement positif

$4\frac{(\ln\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2}$

$4\frac{(\ln\sqrt{x})^2}{x}$

tu dois savoir que $ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$
pour a strictement positif

donc ...

ah d'accord c'est vrai je n'y avais pas pensé ...
alors j'ai fait :
(4 x (1/2 ln x)² ) / x = (2lnx)²/x
mais si c'est ça maintenant comment je peux me débarrasser du 2 ?

en fait tu as oublié de mettre le 1/2 au carré ^^

(1/2 ln x)² = 1/4 (ln x)²

ah oui mince... c'est bon alors puisqu'après en multipliant 1/4 par 4 ça fait 1 donc on retrouve bien (ln x)²/x !
donc quand ils me disent à la suite d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞ c'est pour que j'utilise la version avec les racines carrées vous croyez?

oui je le crois ^^

tu sais que quand
$lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln x}{x} = 0$

rien ne t'empeche de poser $\sqrt{x}$ pour $x$ positif

$lim⁡x→+∞x=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\sqrt{x} = {+} \infty$
donc ...

alors

$lim⁡X→+∞ln⁡XX=...\lim _{X \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln X}{X} = ...$

donc ça fait lnX = +∞ / +∞ ? mais ça fait une forme indéterminée ?

bon ok je vais aller moins vite

$4(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2$ pour tout $x$ strictement positif

on sait que

$lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln x}{x} = 0$

on pose $\sqrt{x}$ pour $x$ positif

$lim⁡x→+∞x=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\sqrt{x} = {+} \infty$

alors

$lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡X→+∞(4(ln⁡XX)2)=...\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = \lim _{X \rightarrow {+} \infty} (4(\frac{\ln X}{X})^2) = ...$

alors ?! toujours pas ?!

j'ai peut-être trouvé...
lnX/X ça fait 0 alors puisque lnx/x = 0 ? et donc la limite est égale à 0 ?

oui très bien ^^

ok super merci ! comme l'exercice est assez long je vais m'arrêter pour aujourd'hui, je vais essayer de continuer et je reviendrais poser des questions demain

ok +++

me revoilà
alors maintenant voilà la 2ème question :
montrer que f'(x) est du signe de (2 -lnx).lnx et étudier les variations de f

et je me demandais comment faire avec le carré, s'il faut que j'écrive lnx * lnx faire uv et après u/v ou alors est-ce que je fais directement u/v mais dans ce cas comment est-ce que je peux calculer la dérivée de (lnx)² ? je sais que pour lnx c'est 1/x, sinon je pensais aussi que c'est peut-être tout simplement 2lnx ... enfin bref j'hésite beaucoup

As-tu vu la formule qui donne la dérivée de f = $u^n$ en fonction de n , u' et u ?

Tu pourrais peux-être l'appliquer avec u(x) = ln(x) et n = 2 !!

ah oui c'est vrai, merci ! j'ai trouvé 2. 1/x. lnx = 2lnx/x
ensuite j'ai fait u/v avec u=(lnx)² et u'=2lnx/x ce qui fait :
(x(2lnx/x) - (lnx)²)/x²
je suis sur la bonne voie ?

oui

ok alors ensuite j'ai mis x en facteur :
(x(2lnx - (lnx)²))/x²
j'ai simplifié avec le dénominateur et j'ai mis lnx en facteur :
lnx(2-lnx)/x

est-ce que c'est le bon résultat ?
comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?

salut moi je trouve du x² au dénominateur

je pense que tu t'es trompée quand tu as voulu simplifier

ton avant dernier post allait

$\frac{x(2\frac{\ln x}{x})- (\ln x)^2}{x^2}$

$\frac{2\ln x - (\ln x )^2}{x^2}$

ah oui c'est vrai j'ai compris maintenant, merci
et donc après je mets lnx en facteur au numérateur et x² au dénominateur, et là c'est bon le résultat ?

oui tu laisses le x² au dénominateur et tu gardes ton numérateur (qui était bon )

ok super merci, et est-ce que vous pouvez m'aider en ce qui concerne ça ?

Maeva6
comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x² est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?

lol
je mettrais
le dénominateur est strictement positif (c'est un carré donc on s'en fiche de l'ensemble de définition il faut juste préciser que x≠0) donc le signe de f'(x) dépend du numérateur
à ta place je résoudrais
lnx.(2-lnx)= 0
et je ferais un tableau de signe avec

ln x

2-ln x

lnx.(2-lnx)

mais si tu veux tenter l'inéquation pourquoi pas
dans ce cas il faut que tu redéveloppes je pense
essaie et dis moi ce que tu trouves

ok bon ben je vais faire un tableau de signe alors
lnx est positif sur ]0 ; +∞[
2-lnx est positif de 0 à 7 d'après ma calculatrice et négatif ensuite
donc lnx.(2-lnx) est du même signe que 2-lnx ?

tu sais faire un tableau de signe ?! quelles sont les valeurs pour lesquelles on a 0 ?! les valeurs exactes ...

pour x strictement positif

$ln⁡x×(2−ln⁡x)=0\ln x\times (2-\ln x) = 0$

⇔

$ln⁡x=0\ln x = 0$
donc $x = . . .$

ou

$2−ln⁡x=02-\ln x = 0$

$ln⁡x=2\ln x = 2$

donc $x = . . .$

oui en fait au début je voulais faire comme ça mais comme je n'étais pas sûre du résultat j'ai voulu simplifier avec la calculatrice
alors pour lnx = 0 je crois que c'est x =1 ?
par contre pour lnx = 2 je ne sais pas du tout comment faire

$ln⁡x=2\ln x = 2$
⇔

$ln x = \ln (e^2)$
⇔

$x = e^2$

oui pour le 1
donc alors le tableau il donne quoi maintenant ?! ^^

merci beaucoup
alors pour lnx de 0 à 1 c'est négatif et de 1 à +∞ c'est positif
pour 2-lnx de 0 à e² c'est positif et de e² à +∞ c'est négatif ?
donc lnx.(2-lnx) est négatif de 0 à 1, positif de 1 à e² et négatif de e² à +∞ ?

oui très bien ^^

ok super
alors maintenant j'en suis à la 2ème partie de l'exo (il y en a 4 en tout) voilà ce qu'on rajoute à l'énoncé :
soient a, a appartient à R+*, A le point de (C) (la courbe de f) d'abscisse a, et $T_a$ ) la tangente à (C) en A

Ecrire une équation de $T_a$ )
et je me demandais si c'est bien cette formule qu'il faut que j'utilise :
y = f'(a)(x-a)+f(a) (j'espère ne pas avoir fait de faute)
et si c'est bien celle là qu'est-ce que je dois faire ? je remplace x par a pour f'(a) et f(a) et pour (x-a) je n'y touche pas ?

Salut.

Oui, c'est bien la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) qu'il faut utiliser.

Comme tu cherches la tangente, elle doit dépendre de x : c'est une équation de droite. Donc tu ne touches pas à x dans (x-a).

@+

ok alors j'ai écrit :
y = ((2lna-(lna)²)/a²).(x-a) + (lna)²/a
mais pour le reste je suis vraiment pas sûre que ça soit ça :
((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+(lna)²/a
= ((2lna-(lna)²).(x-a)/a²)+((lna)²a)/a²
= (2lna-(lna)².(x-a)+(lna)²a)/a²
?

au fait j'y pense maintenant, s'il y a écrit "une équation de $T_a$ ) , est-ce que ça veut dire que je peux prendre n'importe quel chiffre pour remplacer a dans ce que j'ai écrit plus haut?

Salut.

$T_a$ est une courbe, donc elle est caractérisée par son équation. Par exemple (C) est la courbe d'équation f(x)=ln²(x)/x. C'est comme quand on parle d'équation de droite, de cercle ou de plan.

$T_a$ est la tangente au point d'abscisse a. Donc si tu cherches la tangente à (C) au point de coordonnées (2;f(2)), tu vas prendre a=2, donc calculer l'équation de $T_2$ : y=f'(2)(x-2)+f(2).

L'équation que tu as trouvée est juste (j'ai juste lu la 1ère ligne). Je récapitule tout en clair :

$\frac{\ln(x)^2}{x}$
$\frac{2\ln(x)-\ln(x)^2}{x^2}$

$Ta,:,y=f′(a)(x−a)+f(a)=2ln⁡(a)−ln⁡(a)2a2(x−a)+ln⁡(a)2aT_a , : , y = f'(a)(x-a)+f(a) = \frac{2\ln(a)-\ln(a)^2}{a^2}(x-a) + \frac{\ln(a)^2}{a}$

@+

d'accord, merci pour les explications
pour a = 2 j'ai trouvé ça :
$2ln⁡(2)−ln⁡(2)222(x−2)+ln⁡(2)22\frac{2\ln(2)-\ln(2)^2}{2^2}(x-2) + \frac{\ln(2)^2}{2}$

$\frac{2\ln2-(\ln2)^2(x-2)}{4} + \frac{(\ln2)^2}{2}$

$\frac{2\ln2-(\ln2)^2(x-2)+2(\ln2)^2}{4}$

est-ce que c'est bon ou est-ce que je me suis trompée dans les calculs ?

coucou
je redébarque mais en voyant vite fait ton calcul j'ai l'impression que tu as oublié des parenthèses entre la première et la deuxième le numérateur est entre parenthèses en fait...