Fonction logarithme de x



  • Bonjour, voilà alors en fait j'ai cet exercice à finir (et un autre que je posterais plus tard qui n'est pas sur les fonctions) et j'ai quelques petites questions donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil 😄

    Voilà le sujet :

    Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :
    f(x) = (ln x)²/x

    et on me demande de calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0, j'ai commencé par mettre la limite de x qui est 0 mais pour (ln x)² en fait j'ai un petit doûte avec le ², j'ai vu dans mon cours que la limite de ln x quand x tend vers 0 est égale à -∞ mais je préfère avoir confirmation pour savoir si c'est pareil au carré ?

    ensuite on me demande de démontrer que f(x) = 4((ln√x)/√x)² et là je bloque 😕

    Merci d'avance



  • coucou

    f(x)=(lnx)2xf(x) = \frac{(\ln x)^2}{x} pour x]0;+[x \in ]0 ; {+}\infty[

    donc
    comme tu l'as dit la limite de xx en 00 c'est 00 donc

    limx0+1x=+\lim _{x \rightarrow 0^+}\frac{1}{x} = {+} \infty

    et

    limx0+lnx=\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x = {-} \infty

    tu vas calculer

    limx0+lnx×lnx\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x \times \ln x

    donc ...

    donc conclusion ...



  • limx0+lnx×lnx\lim _{x \rightarrow 0^+}\ln x \times \ln x
    c'est égal à +∞ alors ?
    et après est-ce que ça donne +∞ / 0 = +∞ ?



  • oui et non
    bravo pour la limite que je t'ai fait calculer ^^
    ensuite tu as un produit (encore)

    limx0+f(x)=limx0+((lnx)2×1x)=\lim _{x \rightarrow 0^+}f(x) =\lim _{x \rightarrow 0^+}((\ln x)^2 \times \frac{1}{x}) =



  • ok merci donc ça fait +∞ x +∞ = +∞ ?

    pour la 2ème question j'y vois plus clair après avoir vu la limite, mais comme il faut démontrer je me demande comment commencer ? est-ce que je remplace (ln x)² par lnx*lnx et je mets toute la fraction au carré ?



  • re
    oui c'est bon
    alors est ce que la fonction qu'on demande de trouver c'est bien pour x > 0

    f(x)=4(lnxx)2f(x) = 4(\frac{ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2



  • il n'y a pas de précision donc je suppose qu'on reste sur x > 0 , comme en plus après on me demande d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞



  • bon je pense que c'est bien ça en effet

    tu poses g(x)=4(lnxx)2g(x) = 4(\frac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2 pour tout xx srtictement positif

    g(x)=4(lnx)2(x)2g(x) = 4\frac{(\ln\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2}

    g(x)=4(lnx)2xg(x) = 4\frac{(\ln\sqrt{x})^2}{x}

    tu dois savoir que lna=12lna\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a
    pour a strictement positif

    donc ...



  • ah d'accord c'est vrai je n'y avais pas pensé ...
    alors j'ai fait :
    (4 x (1/2 ln x)² ) / x = (2lnx)²/x
    mais si c'est ça maintenant comment je peux me débarrasser du 2 ?



  • en fait tu as oublié de mettre le 1/2 au carré ^^

    (1/2 ln x)² = 1/4 (ln x)²



  • ah oui mince... c'est bon alors puisqu'après en multipliant 1/4 par 4 ça fait 1 donc on retrouve bien (ln x)²/x !
    donc quand ils me disent à la suite d'en déduire la limite de f quand x tend vers +∞ c'est pour que j'utilise la version avec les racines carrées vous croyez?



  • oui je le crois ^^

    tu sais que quand
    limx+lnxx=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln x}{x} = 0

    rien ne t'empeche de poser X=xX = \sqrt{x} pour xx positif

    limx+x=+\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\sqrt{x} = {+} \infty
    donc ...

    alors

    limX+lnXX=...\lim _{X \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln X}{X} = ...



  • donc ça fait lnX = +∞ / +∞ ? mais ça fait une forme indéterminée ?



  • bon ok je vais aller moins vite

    f(x)=4(lnxx)2f(x) = 4(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})^2 pour tout xx strictement positif

    on sait que

    limx+lnxx=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{\ln x}{x} = 0

    on pose X=xX = \sqrt{x} pour xx positif

    limx+x=+\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\sqrt{x} = {+} \infty

    alors

    limx+f(x)=limX+(4(lnXX)2)=...\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = \lim _{X \rightarrow {+} \infty} (4(\frac{\ln X}{X})^2) = ...

    alors ?! toujours pas ?!



  • j'ai peut-être trouvé...
    lnX/X ça fait 0 alors puisque lnx/x = 0 ? et donc la limite est égale à 0 ?



  • oui très bien ^^



  • ok super merci ! comme l'exercice est assez long je vais m'arrêter pour aujourd'hui, je vais essayer de continuer et je reviendrais poser des questions demain 😄



  • ok +++



  • me revoilà
    alors maintenant voilà la 2ème question :
    montrer que f'(x) est du signe de (2 -lnx).lnx et étudier les variations de f

    et je me demandais comment faire avec le carré, s'il faut que j'écrive lnx * lnx faire uv et après u/v ou alors est-ce que je fais directement u/v mais dans ce cas comment est-ce que je peux calculer la dérivée de (lnx)² ? je sais que pour lnx c'est 1/x, sinon je pensais aussi que c'est peut-être tout simplement 2lnx ... enfin bref j'hésite beaucoup



  • As-tu vu la formule qui donne la dérivée de f = unu^n en fonction de n , u' et u ?

    Tu pourrais peux-être l'appliquer avec u(x) = ln(x) et n = 2 !!



  • ah oui c'est vrai, merci ! j'ai trouvé 2. 1/x. lnx = 2lnx/x
    ensuite j'ai fait u/v avec u=(lnx)² et u'=2lnx/x ce qui fait :
    (x(2lnx/x) - (lnx)²)/x²
    je suis sur la bonne voie ?



  • oui



  • ok alors ensuite j'ai mis x en facteur :
    (x(2lnx - (lnx)²))/x²
    j'ai simplifié avec le dénominateur et j'ai mis lnx en facteur :
    lnx(2-lnx)/x

    est-ce que c'est le bon résultat ?
    comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur x est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?



  • salut moi je trouve du x² au dénominateur

    je pense que tu t'es trompée quand tu as voulu simplifier

    ton avant dernier post allait

    f(x)=x(2lnxx)(lnx)2x2f'(x) = \frac{x(2\frac{\ln x}{x})- (\ln x)^2}{x^2}

    f(x)=2lnx(lnx)2x2f'(x) = \frac{2\ln x - (\ln x )^2}{x^2}



  • ah oui c'est vrai j'ai compris maintenant, merci
    et donc après je mets lnx en facteur au numérateur et x² au dénominateur, et là c'est bon le résultat ?



  • oui tu laisses le x² au dénominateur et tu gardes ton numérateur (qui était bon )



  • ok super merci, et est-ce que vous pouvez m'aider en ce qui concerne ça ?

    Maeva6
    comme on me demande de montrer que f'(x) est du signe de lnx(2-lnx) je pensais écrire que comme f est définie sur ]0 ; +∞[ le dénominateur est toujours positif donc le signe dépend du numérateur, c'est juste ?et pour étudier les variations de f il faut que je fasse une inéquation ?



  • lol
    je mettrais
    le dénominateur est strictement positif (c'est un carré donc on s'en fiche de l'ensemble de définition il faut juste préciser que x≠0) donc le signe de f'(x) dépend du numérateur
    à ta place je résoudrais
    lnx.(2-lnx)= 0
    et je ferais un tableau de signe avec

    ln x

    2-ln x

    lnx.(2-lnx)

    mais si tu veux tenter l'inéquation pourquoi pas
    dans ce cas il faut que tu redéveloppes je pense
    essaie et dis moi ce que tu trouves



  • ok bon ben je vais faire un tableau de signe alors
    lnx est positif sur ]0 ; +∞[
    2-lnx est positif de 0 à 7 d'après ma calculatrice et négatif ensuite
    donc lnx.(2-lnx) est du même signe que 2-lnx ?



  • tu sais faire un tableau de signe ?! quelles sont les valeurs pour lesquelles on a 0 ?! les valeurs exactes ...

    pour x strictement positif

    lnx×(2lnx)=0\ln x\times (2-\ln x) = 0

    lnx=0\ln x = 0
    donc x=...x = ...

    ou

    2lnx=02-\ln x = 0

    lnx=2\ln x = 2

    donc x=...x = ...


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