polynôme de degré n

[gzz-valentine]

Bonjour à tous comment allez vous
voila je fait appelle à vous pour résoudre un ptit probleme
Aidez moi s'il vous plaît

Pour n∈N , on pose $P_n$(x) = $(1/n!)\ast e$^x$\ast d$^n$/dx$^n$[x$^n$e^{-x}$]

Montrer que $P_n$ est un polynôme de degré n dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à
$(-1{)}^n$/n!

j'ai trouvé $P_0$(x)=1
$P_1$(x)=1-x
$P_2$(x)=1-2x+x²/2

[gzz-valentine]

euh la suite

Soit f une fonction polynôme montrer que, pour n et k entiers naturels tels que 0≤k≤n-1, l'expression $f(t)\ast d$^k$/dt$^k$[t$^n$\ast e^{-t}$] s'annule en 0 et tend vers 0 quand t tend vers +∞

j'ai trouvé que l'expression s'annulé en 0 et j'ai pas réussi a faire le reste
Please help me merci

[ogeiger]

Peut être une petite démonstration par récurrence pour la première partie ?

[gzz-valentine]

je suis d'accord mais je bloque sur la démonstration de l'hérédité en bref j'arrive pas à la mener à terme