Espace vertoriel et carre magique!

[thancongkhau]

Bonjour!
J'ai un devoir d'espcace vectoriel, je suis entraine a le faire et je veux vous faire ensemble avec moi (pour discuter et corriger des ereurs). Merci en avant!
Maintenant c'est le sujet:
E=M3(R) l'espace vectoriel des matrices reellees de taille 3.On appelle carre magique une matrice M telle que les sommes des nombres de chaque lignes, de chaque colonne et des deux diagonales sont egales.On note S cete somme que l'on appelle somme du carre.Plus precisement une matrice
L1: a b c
L2: d e f
L3: g h i
est un carre de somme S si et seulement si les coefficients de la matrice sont solution des equations suivantes:
a+b+c=S, a+d+g=S, a+e+i=S,
d+e+f=S, b+e+h=S, g+e+c=S,
g+h+i=S, c+f+i=S.
On ne cherchera pas a resoudre ce systeme.

1. Montrer que l'ensemble C des carres magiques est un sous espace vectoriel de E.
   --> J'ai fait comme audesous:

• Soit a=b=c=d=e=f=g=h=i=0 qui verifie E donc l'element neutre appartient C ou C est non vide.
• Soient E1 et E2 deux sous espace vectoriels de E.
  On a E1 + E2 = E3 ou E3 est la matrice suivant:
  L1: a + a' b + b' c + c'
  L2: d + d' e + e' f + f'
  L3: g + g' h + h' i + i'
  ou (a,b,c,d,e,f,g,h,i sont coefficients de E1) et (a',b',c',d',e',f',g',h',i' sont coefficients de E2)
  On obtient les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et de deux diagonales de la matrice E3 sont egales a S+S' qui verifie E. Donc E1 verifie E pour plus (+).
• Soit @ ¸ R, donc @xE1=E1' et les sommes de chaque ligne, chaque colonne et de deux diagonales sont egales a @xS qui verifie E. Donc E1 verifie E pour (*).
• Finalement l'ensemble C des carres magiques est un sous espace vertoriel de E.

2. Donnes une condition necessaire et suffisante sur S pour que l'ensemble des carre magiques de somme S soit un sous espace vectoriel de C.
   --> Je ne comprends pas vraiment cette question mais a mon avis la condition S peut egale a 0 dans le cas de l'element neutre. Je ne suis pas sure!
3. Montrez qu'une matrice dont tous les coefficients sont egaux est un carre magique. Quelle est sa somme? On appellera par la suite une telle matrice un carre magique constant.
   --> Cette question est facile alors on la passe. Et on pose C1 le carre magique constant:
   L1: a a a
   L2: a a a
   L3: a a a
4. Montrez que l'ensemble des carres magiques constants est un sous espace vertoriel de C.
   --> Je pense qu'on va montrer comme la premiere question. Je ne suis pas sure aussi ds cette question.
5. Montrez que tout element x de C s'ecrit de maniere unique :
   X = Xc + Xo
   ou` Xc est un carre magique constant et Xo un carre magique de somme nulle. En deduire que C s'ecrit comme somme directe de deux de ces sous espaces vectoriels que l'on precisera.
   --> Je suis entraine de la faire. Cette question est dure!

Mercia a`vous!