probabilités



  • Bonjour 😄
    Voilà en fait j'ai un exercice sur les probabilités à faire, je l'ai commencé mais je bloque sur une question. L'énoncé est le suivant :


    On dispose d'un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d'apparaître. Le dé possède trois faces rouges, une face orange et deux faces vertes.
    Un jeu consistre à lancer une fois le dé. La règle est la suivante : le joueur mise 10 € ;

    • si la face supérieure du dé est rouge, il ne reçoit rien ;
    • si elle est orange, il reçoit 10 €
    • si elle est verte, il reçoit m euros ( m est un entier naturel strictement supérieur à 10)

    On appelle gain algébrique du joueur la différence entre ce qu'il reçoit à l'issue d'une partie et sa mise ; on désigne par X la variable aléatoire associant à chaque lancer ce gain algébrique.


    Pour la 1ère question on m'a demandé les valeurs prises par X et sa loi de probabilité, j'ai trouvé :
    valeurs : -10,0 et m-10
    P(X=-10) = = 3/6 = 0,5
    P(X=0) = 1/6 = 0,17
    P(X=m-10) = 2/6 = 0,33

    Ensuite là où je bloque c'est quand on me demande de déterminer, en fonction de m l'espérance mathématique de X.
    J'ai tenté quelque chose mais je pense que c'est faux :

    E(X) = 0,5.-10 + 0,17.0 + 0,33.m-10
    = -5 + 0,33.m-10
    et ensuite j'ai fait comme pour une équation :
    -0,33.m+10 = - 5
    -0,33m = -15
    (0,33m)/0,33 = 15/0,33
    m = 45,4545 ....

    Après j'ai remplacé m par 45,..... dans -5 + 0,33.m-10 et j'ai trouvé E(X) = 6,7
    Comme je me doûte que c'est faux j'aurais voulu savoir si quelqu'un pouvait m'aider à déterminer cette espérance mathématique en fonction de m ? (c'est ce "en fonction de m" qui m'embête, je n'ai trouvé aucun exercice de ce type nulle part)

    Merci d'avance



  • coucou
    je ne comprends pas ta question c'est bien

    "déterminer, en fonction de m l'espérance mathématique de X"
    alors pourquoi tu essaies de me calculer m ?!



  • ah ok alors j'ai juste à écrire :
    E(X) = 5 + 0,33.m-10 ?



  • ok j'ai compris je suis arrivée à faire quelques questions encore et je suis de nouveau bloquée, maintenant on me rajoute :

    L'entier naturel n étant supérieur ou égal à 2, un joueur effectue n lancers consécutifs indépendants.

    D'abord on me demande de montrer que la probabilité d'obtenir un gain algébrique strictement positif pour un lancer donné est p = 1/3 alors j'ai écrit que comme m > 10, m-10 > 0 et p(X=m-10) = 2/6 = 1/3 ça vous semble correct ?

    C'est à la question suivante que je bloque, on me demande de déterminer, en fonction de n, la probabilité pnp_n pour que ce joueur obtienne au moins une fois un gain algébrique strictement positif à l'issue des n lancers.
    Je ne sais pas s'il faut que j'utilise la loi de Poisson ou autre chose.... pouvez-vous m'aider ?

    Merci d'avance



  • la loi de Poisson ?! je ne connais pas... c'était une blague pour poisson d'avril ?! lol
    je te propose un truc tu vas me dire si ça te convient
    pour trouver la proba d'un évènement qui se produit "au moins une fois " il faut ruser
    le contraire de "au moins une fois" c'est "jamais"
    donc en trouvant la proba de l'évènement : le joueur ne gagne jamais de gain algébrique positif et en faisant 1 moins cette proba on trouvera notre résultat
    ok ?!



  • lol oui c'est pas une blague ça existe la loi de Poisson !! j'ai trouvé cette page sur le net où ils expliquent la formule :
    http://www.ilemaths.net/encyclopedie/Loi_de_Poisson.html
    (d'ailleurs j'ai un autre exercice à faire à la suite de celui-là où il faudra que je l'utilise vu qu'on m'en parle dans l'énoncé)

    bref si on peut faire autrement tant mieux 😁
    comme à la question précédente j'ai trouvé que la probabilité d'obtenir un gain algébrique strictement positif = 1/3 j'en déduis que celle de ne pas en obtenir = 2/3 donc en fait ne jamais gagner de gain algébrique à l'issue de n lancers c'est (2/3)n(2/3)^n ?



  • ok pour la loi de Poisson ba je ne sais pas ça n'a pas l'air vital pour le bac lol à moins que ce soit un truc spécial pour les ES ^^
    oui je pense aussi que c'est ça pour la probabilité de ne jamais gagner de gain algébrique positif
    maintenant tu peux répondre à la question en utilisant ce que je t'ai dit dans mon précédent post



  • ça serait (1/3)(2/3)n1(1/3)*(2/3)^{n-1} ?



  • je ne comprends pas ta logique
    soit le joueur obtient au moins une fois un gain positif soit il n'obtient jamais de gain positif donc la réponse selon moi c'est 1- (2/3)n(2/3)^n



  • en fait j'avais oublié que c'est au moins un et pas juste un ... 😊 ... oui oui je suis d'accord avec vous sur le résultat

    j'ai juste une dernière question, en fait en dernier on me demande de déterminer le plus petit entier N tel que pnp_n ≥ 0,99
    donc j'ai qu'à remplacer le n par des valeurs jusqu'à ce que le résultat soit supérieur à 0,99 c'est ça ?



  • Maeva6
    en fait j'avais oublié que c'est au moins un et pas juste un ... 😊 ... oui oui je suis d'accord avec vous sur le résultat

    j'ai juste une dernière question, en fait en dernier on me demande de déterminer le plus petit entier N tel que pnp_n ≥ 0,99
    donc j'ai qu'à remplacer le n par des valeurs jusqu'à ce que le résultat soit supérieur à 0,99 c'est ça ?



  • oui j'ai déjà étudié le logarithme népérien
    et je sais que ln(a/b) = lna - lnb
    donc je pensais que c'est peut-être ln2nln2^n - ln3nln3^n ?
    a moins que ça ne soit de la forme lnablna^b et dans ce cas ça serait n*ln(2/3)



  • les deux choses que tu m'as écrit sont bonnes maintenant j'aimerais un mix des deux 😄 c'est possible ^^
    tu n'es pas très loin de la réponse



  • alors je tente un truc :
    ln(2/3)nln(2/3)^n = (ln2ln3)n(ln2-ln3)^n
    = n*(ln2-ln3) ?



  • Maeva6
    alors je tente un truc :
    ln(2/3)nln(2/3)^n = (ln2ln3)n(ln2-ln3)^n
    = n*(ln2-ln3) ?
    non mais l'idée est là lol le résultat est bon mais la deuxième étape ne me plait pas

    ln(2/3)nln(2/3)^n = n ln(2/3) = n(ln2-ln3)

    c'est le 2/3 qui est à la puissance n et non le ln

    parce que
    pour n = 2
    (ln2ln3)n(ln2-ln3)^n = (ln 2)² - 2ln2ln3 + (ln3)² ≠ 2 (ln2-ln3)



  • a oui d'accord en fait j'avais fait l'inverse quoi lol
    donc on en est à :
    ln0,01 ≥ n*(ln2/ln3)
    et maintenant qu'est-ce que je fais ? je fais passer tout du même côté ?



  • Maeva6
    a oui d'accord en fait j'avais fait l'inverse quoi lol
    donc on en est à :

    ln0,01 ≥ n(ln2-ln3)*
    et maintenant qu'est-ce que je fais ? je fais passer tout du même côté ?

    tu vas regarder si (ln2-ln3) est positif ou négatif et tu vas diviser des deux côtés de l'inégalité par cette valeur



  • ok mais est-ce que ça dépend de n pour savoir si (ln2-ln3) est négatif ou positif ?



  • non (ln 2 - ln 3) est un nombre comme 46 il ne dépend pas de n ^^
    regarde à ta calculette pour connaitre la valeur si tu ne te souviens pas de l'allure de la courbe



  • a ok alors je crois que c'est négatif, et la valeur c'est ln2-ln3 = -0,405 ?



  • oui donc quand tu vas diviser par ce nombre dans ton inégalité il va falloir changer la tête du signe...



  • ok alors j'ai trouvé ça :
    ln(0,01)0,41\frac{\ln(0,01)}{-0,41}n(ln(2)ln(3))0,41\frac{n*(\ln(2)-\ln(3))}{-0,41}

    ln(0,01)0,41\frac{\ln(0,01)}{-0,41} ≤ n

    c'est juste ??



  • oui sauf que j'aimerais bien que tu me laisses la valeur exacte
    l'arrondi c'était juste pour savoir le signe ^^
    c'était cette valeur que tu avais trouvé en le faisant par calculs (par tatonnement)?



  • oula elle est super longue lol
    -0,4054651081
    en fait je l'avais trouvée en tapant ln2-ln3 à la calculatrice alors j'espère que c'est la bonne méthode
    et ensuite il faut faire quoi ? un produit en croix ?



  • non mais quand je dis valeur exacte je veux dire ln 2 - ln 3 je ne suis pas si sadique que ça lol
    je voulais te demander ce que tu avais trouvé pour n avec ta méthode

    "j'ai qu'à remplacer le n par des valeurs jusqu'à ce que le résultat soit supérieur à 0,99 c'est ça ?"
    si tu l'avais fait finalement lol mais ne le fait pas juste pour voir ok lol



  • a ok lol j'ai compris ce que vous vouliez dire, bon ben pas de problème je ne le ferai pas... mais alors qu'est-ce que je fais maintenant ? lol

    ln(0,01)ln(2)ln(3)\frac{\ln(0,01)}{ln(2)-\ln(3)}n(ln(2)ln(3))ln(2)ln(3)\frac{n*(\ln(2)-\ln(3))}{ln(2)-\ln(3)}

    ln(0,01)ln(2)ln(3)\frac{\ln(0,01)}{ln(2)-\ln(3)} ≤ n



  • soit
    n ≥ 12
    ba oui parfois faut arrondir lol
    c'est à la fin qu'on met les valeurs approchées ^^
    le truc horrible : ln(0,01) / (ln2 -ln3 ) fait environ 11,36
    nous on veut "supérieur ou égal à 0,99" donc il faut prendre l'unité du dessus ->12



  • ok super !
    voilà l'exercice est fini, merci beaucoup pour votre aide !! 😄


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