Intégrale / Aire


  • A

    Salut à tous !!

    J'ai un exercice à faire, et j'aurais besoin de votre aide.
    Voici l'énoncé :

    Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (o; i ; j). Dans ce repère, on a tracé la droite (delta), d'équation y=xy=xy=x, et la courbe Cf représentant la fonction f définie sur [0;+∞[[ 0 ; + \infty [[0;+[ par ;

    f(x)=x+2x(x2+1)2f(x) = x + \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f(x)=x+(x2+1)22x

    http://www.mezimages.com/up/04/52475-out.png

    On a également tracé la droite d'équation x = a, parallèle à la droite des ordonnées. La réunion des zones coloriées AAA et BBB représente, à échelle réduite, la voile d'un bateau ; les deux parties AAA et BBB sont faites de toiles différentes, mais doivent avoir la même aire.
    Le but de l'exercice est de choisir aaa ($a > 0$) de telle sorte que les aires AAA et BBB soient égales.

    1. Calculez en fonction de aaa, l'aire du triangle OAM
    2. Calculez l'aire entre Cf et Delta, pour x∈[0;a]x \in [0;a]x[0;a]
    3. Déduisez des résultats précédents la valeur de aaa, $a > 0$, tel que A=BA = BA=B

    Merci

    Ds : je trouve pas le delta...


  • A

    Pour le 1,
    l'aire d'un triangle est :

    base∗hauteur2\frac{base * hauteur}{2}2basehauteur
    J'hésite entre deux choix :

    a∗1,252\frac{a * 1,25}{2}2a1,25
    Mais la hauteur dépend de là où se trouve dans le triangle..., alors est-ce que :
    a∗hauteur2\frac{a * hauteur}{2}2ahauteur serait mieux adapté ?

    Ou j'ai encore un autre avis : il s'agit d'un triangle rectangle isocèle (a=h) donc son aire est égale à a22\frac {a^2}{2}2a2.

    2, Pour l'aire comprise entre le courbe CfC_fCf et la droite Δ\DeltaΔ, il faut calculer l'intégrale de la fonction :

    ∫0a(f(x)−x)dx=∫0a(2x(x2+1)2)dx\int_0^a(f(x)-x)dx=\int_0^a(\frac{2x}{(x^2+1) ^2})dx0a(f(x)x)dx=0a((x2+1)22x)dx
    La primitive donne alors −1x2+1-\frac{1}{x^2 + 1}x2+11

    Est-ce juste jusqu'à cette étape, svp ?


  • A

    Si je calcule l'intégrale, je trouve :

    −1a2+1+11=−1a2+1+a2+1a2+1=−1+a2+1a2+1=a2a2+1- \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{1}= - \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} = \frac {- 1 + a^2 + 1}{a^2 + 1}= \frac{a^2}{a^2 + 1}a2+11+11=a2+11+a2+1a2+1=a2+11+a2+1=a2+1a2

    Voila , mais après il faut que je sois sur pour la quest 1.
    C'est juste ?


  • M

    re
    oui je ne vois pas d'erreurs je pense que c'est bien ça ^^
    pour le 1. c'est bien
    a22\frac{a^2}{2}2a2


  • M

    pour la rédaction n'oublie pas de dire UNE primitive et non la primitive ^^


  • A

    Ok, pour le 1, je donne plusieurs suppositions, laquelle est juste ?


  • M

    je l'ai marqué (post de 14h30 ^^ deux posts avant


  • A

    Donc je fais le résultat d'UNE primitive de l'aire de f(x) - l'aire de B ?
    càd (a²)/(a²+1) - (a²)/(a) ???


  • A

    Si oui, est-ce que le résultat est : (a² -a³ -a) / (a² + 1)


  • M

    Animatrix
    Donc je fais le résultat d'UNE primitive de l'aire de f(x) - l'aire de B ?
    càd (a²)/(a²+1) - (a²)/(a) ???
    c'est bien mon petit tu apprends vite 😁
    pourquoi tu me fais la soustraction nous on veut
    A = B
    tu résouds cette égalité
    a est ctrictement positif donc tu vas pouvoir diviser par a²


  • A

    Ben on a calculé l'aire de f(x), or on veut que A, non ?


  • A

    Voila avec l'aide miumiu, j'ai réussi à terminer l'exercice.
    Voici la rédaction :

    f(x)=x+2x(x2+1)2f(x) = x + \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f(x)=x+(x2+1)22x et Df=[0;+∞[Df = [0 ; + \infty [Df=[0;+[

    1. Nous savons que l'aire d'un triangle est : base∗hauteur2\frac{base * hauteur}{2}2basehauteur
      Nous remarquons que le triangle OAM est un triangle isocèle.
      Par conséquent l'aire de OAM, et donc de B, en fonction de a est a22\frac{a^2}{2}2a2
      ua(dois rajouter l'unité ?)

    2. Calculer l'aire entre Cf et δ\deltaδ, pour x ∈[0;a]\in [0;a][0;a], revient à calculer l'aire de A.
      Pour cela, il faut calculer ∫0a(f(x)−x)dx\int_0^a(f(x)-x)dx0a(f(x)x)dx, car $\ \mathcal{A} = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ aire(\mathcal{B})$
      est-ce suffisant comme info
      f(x)−x=x+2x(x2+1)2−x=2x(x2+1)2f(x) - x= x + \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} -x = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f(x)x=x+(x2+1)22xx=(x2+1)22x
      Calcul de la primitive :
      F(x)=−1x2+1F(x) = - \frac{1}{x^2 + 1}F(x)=x2+11

    [−1x2+1]entre0eta=−1a2+1+11=−1a2+1+a2+1a2+1=−1+a2+1a2+1=a2a2+1[- \frac{1}{x^2 + 1}] entre 0 et a = - \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{1}= - \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} = \frac {- 1 + a^2 + 1}{a^2 + 1}= \frac{a^2}{a^2 + 1}[x2+11]entre0eta=a2+11+11=a2+11+a2+1a2+1=a2+11+a2+1=a2+1a2
    uaDois-je préciser ua ici ?

    L'aire entre Cf et Delta est a2a2+1\frac{a^2}{a^2 + 1}a2+1a2ua, pour ∈[0;a]\in [0;a][0;a].

    1. Si A = B, alors :
      a22=a2a2+1\frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{a^2 + 1}2a2=a2+1a2
      a2∗(a2+1)=2∗a2a^2 * (a^2 + 1) = 2 * a^2a2(a2+1)=2a2
      a4+a2=2a2a^4 + a^2 = 2a^2a4+a2=2a2
      a4+a2a2=2\frac{a^4 + a^2}{a^2} = 2a2a4+a2=2
      a2(a2+1)a2=2\frac{a^2(a^2 + 1)}{a^2} = 2a2a2(a2+1)=2
      a2=2−1a^2 = 2 - 1a2=21
      a2=1a^2 = 1a2=1
      a=+ou−1a = + ou - \sqrt{1}a=+ou1

    Si a > 0, alors a = 1
    Si A=B et si a > 0, alors a = 1

    Manque-t-il des infos ?
    Encore merci pour ton aide.


  • M

    Animatrix
    Voila avec l'aide miumiu, j'ai réussi à terminer l'exercice.
    Voici la rédaction :

    f(x)=x+2x(x2+1)2f(x) = x + \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f(x)=x+(x2+1)22x et Df=[0;+∞[Df = [0 ; + \infty [Df=[0;+[

    1. Nous savons que l'aire d'un triangle est : base∗hauteur2\frac{base * hauteur}{2}2basehauteur
      Nous remarquons que le triangle OAM est un triangle isocèle.
      Par conséquent l'aire de OAM, et donc de B, en fonction de a est a22\frac{a^2}{2}2a2
      ua(dois rajouter l'unité ?)

    non pas la peine l'expression de B est a22\frac{a^2}{2}2a2 est suffisant

    Citation

    1. Calculer l'aire entre Cf et δ\deltaδ, pour x ∈[0;a]\in [0;a][0;a], revient à calculer l'aire de A.
      Pour cela, il faut calculer ∫0a(f(x)−x)dx\int_0^a(f(x)-x)dx0a(f(x)x)dx, car $\ \mathcal{A} = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ aire(\mathcal{B})$
      est-ce suffisant comme info

    ou alors tu peux prendre le truc d'une autre manière
    A = A+ B - B

    $A= \ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx$

    Citation

    f(x)−x=x+2x(x2+1)2−x=2x(x2+1)2f(x) - x= x + \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} -x = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f(x)x=x+(x2+1)22xx=(x2+1)22x
    Calcul de la primitive :
    F(x)=−1x2+1F(x) = - \frac{1}{x^2 + 1}F(x)=x2+11

    à ta place je serais restée avec l'écriture en intégrale
    $\Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ = \Bigint_0^a ( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} )dx\ = [- \frac{1}{x^2 + 1}]_0^a$
    Citation

    [−1x2+1]entre0eta=−1a2+1+11=−1a2+1+a2+1a2+1=−1+a2+1a2+1=a2a2+1[- \frac{1}{x^2 + 1}] entre 0 et a = - \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{1}= - \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} = \frac {- 1 + a^2 + 1}{a^2 + 1}= \frac{a^2}{a^2 + 1}[x2+11]entre0eta=a2+11+11=a2+11+a2+1a2+1=a2+11+a2+1=a2+1a2
    uaDois-je préciser ua ici ?

    non précise les unités quand tu passes aux applications numériques pas avant

    Citation

    L'aire entre Cf et Delta est a2a2+1\frac{a^2}{a^2 + 1}a2+1a2ua, pour ∈[0;a]\in [0;a][0;a].

    1. Si A = B, alors :
      a22=a2a2+1\frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{a^2 + 1}2a2=a2+1a2
      a2∗(a2+1)=2∗a2a^2 * (a^2 + 1) = 2 * a^2a2(a2+1)=2a2
      a4+a2=2a2a^4 + a^2 = 2a^2a4+a2=2a2
      a4+a2a2=2\frac{a^4 + a^2}{a^2} = 2a2a4+a2=2
      a2(a2+1)a2=2\frac{a^2(a^2 + 1)}{a^2} = 2a2a2(a2+1)=2
      a2=2−1a^2 = 2 - 1a2=21
      a2=1a^2 = 1a2=1
      a=+ou−1a = + ou - \sqrt{1}a=+ou1

    Si a > 0, alors a = 1
    Si A=B et si a > 0, alors a = 1

    Manque-t-il des infos ?
    Encore merci pour ton aide.

    plus rapide
    a22=a2a2+1\frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{a^2 + 1}2a2=a2+1a2

    a2∗(a2+1)=2∗a2a^2 * (a^2 + 1) = 2 * a^2a2(a2+1)=2a2

    a2=2−1a^2 = 2-1a2=21
    car a est strictement positif

    a2=1a^2 = 1a2=1

    car a est strictement positif


  • A

    OK. Merci
    J'en prend note


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