Intégrale / Aire

[Animatrix]

Salut à tous !!

J'ai un exercice à faire, et j'aurais besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (o; i ; j). Dans ce repère, on a tracé la droite (delta), d'équation $y=x$, et la courbe Cf représentant la fonction f définie sur $[0;+\infty [$ par ;

$f(x)=x+\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$

On a également tracé la droite d'équation x = a, parallèle à la droite des ordonnées. La réunion des zones coloriées $A$ et $B$ représente, à échelle réduite, la voile d'un bateau ; les deux parties $A$ et $B$ sont faites de toiles différentes, mais doivent avoir la même aire.
Le but de l'exercice est de choisir $a$ ($a > 0$) de telle sorte que les aires $A$ et $B$ soient égales.

1. Calculez en fonction de $a$, l'aire du triangle OAM
2. Calculez l'aire entre Cf et Delta, pour $x\in [0;a]$
3. Déduisez des résultats précédents la valeur de $a$, $a > 0$, tel que $A=B$

Merci

Ds : je trouve pas le delta...

[Animatrix]

Pour le 1,
l'aire d'un triangle est :

$\frac{base\ast hauteur}{2}$
J'hésite entre deux choix :

$\frac{a\ast 1,25}{2}$
Mais la hauteur dépend de là où se trouve dans le triangle..., alors est-ce que :
$\frac{a\ast hauteur}{2}$ serait mieux adapté ?

Ou j'ai encore un autre avis : il s'agit d'un triangle rectangle isocèle (a=h) donc son aire est égale à $\frac{a^2}{2}$.

2, Pour l'aire comprise entre le courbe $C_f$ et la droite $\Delta$, il faut calculer l'intégrale de la fonction :

${\int }_0^a(f(x)-x)dx={\int }_0^a(\frac{2x}{(x^2+1{)}^2})dx$
La primitive donne alors $-\frac{1}{x^2+1}$

Est-ce juste jusqu'à cette étape, svp ?

[Animatrix]

Si je calcule l'intégrale, je trouve :

$-\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{1}=-\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a^2+1}=\frac{-1+a^2+1}{a^2+1}=\frac{a^2}{a^2+1}$

Voila , mais après il faut que je sois sur pour la quest 1.
C'est juste ?

[miumiu]

re
oui je ne vois pas d'erreurs je pense que c'est bien ça ^^
pour le 1. c'est bien
$\frac{a^2}{2}$

[miumiu]

pour la rédaction n'oublie pas de dire UNE primitive et non la primitive ^^

[Animatrix]

Ok, pour le 1, je donne plusieurs suppositions, laquelle est juste ?

[miumiu]

je l'ai marqué (post de 14h30 ^^ deux posts avant

[Animatrix]

Donc je fais le résultat d'UNE primitive de l'aire de f(x) - l'aire de B ?
càd (a²)/(a²+1) - (a²)/(a) ???

[Animatrix]

Si oui, est-ce que le résultat est : (a² -a³ -a) / (a² + 1)

[miumiu]

Animatrix
Donc je fais le résultat d'UNE primitive de l'aire de f(x) - l'aire de B ?
càd (a²)/(a²+1) - (a²)/(a) ???
c'est bien mon petit tu apprends vite
pourquoi tu me fais la soustraction nous on veut
A = B
tu résouds cette égalité
a est ctrictement positif donc tu vas pouvoir diviser par a²

[Animatrix]

Ben on a calculé l'aire de f(x), or on veut que A, non ?

[Animatrix]

Voila avec l'aide miumiu, j'ai réussi à terminer l'exercice.
Voici la rédaction :

$f(x)=x+\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$ et $Df=[0;+\infty [$

1. Nous savons que l'aire d'un triangle est : $\frac{base\ast hauteur}{2}$
   Nous remarquons que le triangle OAM est un triangle isocèle.
   Par conséquent l'aire de OAM, et donc de B, en fonction de a est $\frac{a^2}{2}$
   ua(dois rajouter l'unité ?)

2. Calculer l'aire entre Cf et $\delta$, pour x $\in [0;a]$, revient à calculer l'aire de A.
   Pour cela, il faut calculer ${\int }_0^a(f(x)-x)dx$, car $\ \mathcal{A} = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ aire(\mathcal{B})$
   est-ce suffisant comme info
   $f(x)-x=x+\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}-x=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$
   Calcul de la primitive :
   $F(x)=-\frac{1}{x^2+1}$

$[-\frac{1}{x^2+1}]entre0eta=-\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{1}=-\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a^2+1}=\frac{-1+a^2+1}{a^2+1}=\frac{a^2}{a^2+1}$
uaDois-je préciser ua ici ?

L'aire entre Cf et Delta est $\frac{a^2}{a^2+1}$ua, pour $\in [0;a]$.

3. Si A = B, alors :
   $\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{a^2+1}$
   $a^2\ast (a^2+1)=2\ast a^2$
   $a^4+a^2=2a^2$
   $\frac{a^4+a^2}{a^2}=2$
   $\frac{a^2(a^2+1)}{a^2}=2$
   $a^2=2-1$
   $a^2=1$
   $a=+ou-\sqrt{1}$

Si a > 0, alors a = 1
Si A=B et si a > 0, alors a = 1

Manque-t-il des infos ?
Encore merci pour ton aide.

[miumiu]

Animatrix
Voila avec l'aide miumiu, j'ai réussi à terminer l'exercice.
Voici la rédaction :

$f(x)=x+\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$ et $Df=[0;+\infty [$

1. Nous savons que l'aire d'un triangle est : $\frac{base\ast hauteur}{2}$
   Nous remarquons que le triangle OAM est un triangle isocèle.
   Par conséquent l'aire de OAM, et donc de B, en fonction de a est $\frac{a^2}{2}$
   ua(dois rajouter l'unité ?)

non pas la peine l'expression de B est $\frac{a^2}{2}$ est suffisant

Citation

2. Calculer l'aire entre Cf et $\delta$, pour x $\in [0;a]$, revient à calculer l'aire de A.
   Pour cela, il faut calculer ${\int }_0^a(f(x)-x)dx$, car $\ \mathcal{A} = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ =\ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ aire(\mathcal{B})$
   est-ce suffisant comme info

ou alors tu peux prendre le truc d'une autre manière
A = A+ B - B

$A= \ \Bigint_0^a f(x)dx\ -\ \Bigint_0^a xdx\ = \Bigint_0^a (f(x) - x)dx$

Citation

$f(x)-x=x+\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}-x=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$
Calcul de la primitive :
$F(x)=-\frac{1}{x^2+1}$

à ta place je serais restée avec l'écriture en intégrale
$\Bigint_0^a (f(x) - x)dx\ = \Bigint_0^a ( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} )dx\ = [- \frac{1}{x^2 + 1}]_0^a$
Citation

$[-\frac{1}{x^2+1}]entre0eta=-\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{1}=-\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a^2+1}=\frac{-1+a^2+1}{a^2+1}=\frac{a^2}{a^2+1}$
uaDois-je préciser ua ici ?

non précise les unités quand tu passes aux applications numériques pas avant

Citation

L'aire entre Cf et Delta est $\frac{a^2}{a^2+1}$ua, pour $\in [0;a]$.

3. Si A = B, alors :
   $\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{a^2+1}$
   $a^2\ast (a^2+1)=2\ast a^2$
   $a^4+a^2=2a^2$
   $\frac{a^4+a^2}{a^2}=2$
   $\frac{a^2(a^2+1)}{a^2}=2$
   $a^2=2-1$
   $a^2=1$
   $a=+ou-\sqrt{1}$

Si a > 0, alors a = 1
Si A=B et si a > 0, alors a = 1

Manque-t-il des infos ?
Encore merci pour ton aide.

plus rapide
$\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{a^2+1}$

$a^2\ast (a^2+1)=2\ast a^2$

$a^2=2-1$
car a est strictement positif

$a^2=1$

car a est strictement positif

[Animatrix]

OK. Merci
J'en prend note