Inéquation



  • Bonjour à tous et à toutes.

    Dans le cadre de mon exercice, une fonction G m'est donnée :
    G(x) = x³-0.6x²+0.6x
    G est définie sur [0;1]

    Je dois démontrer que:

    1. G est continue et strictement croissante sur [0;1]
    2. Pour tout x ∈ [0;1], 0 ≤ G(x) ≤ x

    Pour le 1), j'ai calculé la dérivée qui me donnerai : G'(x) = 3x²-1.2x+0.6
    Je tente, ensuite, de déterminer le signe de cette expression, en calculant Delta.
    Cependant Delta est négatif, c'est pourquoi j'aimerai en déduire que l'expression est du signe de a, soit a=3. Donc la dérivée serait strictement positive et la fonction strictement croissante. Est-ce correct d'un point de vue méthode ? 😕

    Pour le 2), je suis bloquée, de plus les mêmes questions me sont posées pour une autre fonction encore.
    J'ai essayé de résoudre G(x) ≥ 0 puis x≥ G(x) mais je n'y arrive pas.
    Pourriez-vous, svp, m'indiquer la marche à suivre pour aboutir à l'inéquation proposée.

    Merci d'avance. 😄


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Parfait. 😉

    2. Si G est croissante sur [0;1], alors pour tout x de [0;1], G(x)≥G(0). D'accord ? Ce qui résout une partie de la question.

    Ensuite une manière de faire serait de montrer que la fonction H(x)=G(x)-x soit négative sur [0;1]. Comprends-tu pourquoi ?

    @+



  • A peu près, car pour résoudre l'autre "branche" de l'inéquation, je résouds en fait, H(x) ≤ 0 .
    Mon problème est aussi de trouver le signe de H(x), je ferai : un tableau de signe, mais auparavant je factorise par x ?

    Ce qui donnerai: ׳-0.6ײ-0.4× et sous forme factorisée: x ( x²-0.6x-0.4)
    Je procède à un tableau de signe, sachant que pour x²-0.6x-0.4 j'utilise delta.
    Celui-ci me donne: 1.96. Donc la première solution x1 est : 1 et x2: - 0.4.
    L'expression est donc du signe de a=1, sauf entre ses racines.
    Au final, je trouve que l'expression est négative sur [0;1].

    Je suis quasi-sûre de cela, où est donc le problème svp?

    De plus, que déduire de ce résultat?

    Pour moi si l'espression est négative, cela résoud mon problème, non?

    Merci d'avance 😄


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Ah oui, il restait à montrer la continuité. G est un polynôme donc est continue, et c'est fini.

    2. Oui le problème est résolu, il n'y a donc plus de problème. 😁

    On a donc H(x)=G(x)-x≤0, donc G(x)≤x sur [0;1].

    @+

    P.S. : effectivement j'avais écrit "positive" au lieu de "négative", ce qui était une erreur. Que tu l'aies remarquée montre que tu as compris.



  • Merci beaucoup pour l'aide. 😉

    Bonne après-midi. 😄


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