Dérivés et limites



  • Bonjour à tous!

    J'ai un exercice à faire , mais j'ai du mal à répondre à partir de la question 2.

    Voici l'énoncé de l'exercice:

    On considére la fonctio f définie sur l'intervalle I = ]0 ; +∞[ par

    f(x) = x - 20 + 400 / x .

    Soit C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) (unité : 0,1 cm).

    1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l'intervalle I.

    2. Déterminer la dérivée f' et donner le signe de f'(x).

    Puis, dresser le tableau des variations de f.

    1. Montrer que la droit (D) d'équation y= x - 20 est asymptote à C.
      Donner une équation de l'autre asymptote à C.
    2. Tracer la courbe C, ainsi que ses asymptotes.

    j'ai réussis à faire la première question , j'ai trouvé:

    lim x-20+400/x = +∞
    x->0
    lim x-20+400/x = +∞
    x->+∞

    Aidez-moi s'il vous plaît !
    Mercie d'avance!



  • coucou
    tu n'arrives pas à calculer la dérivée c'est bien ça ...
    quelle est la dérivée de x
    quelle est la dérivée de -20
    quelle est la dérivée de 1/x
    quelle est la dérivée de 400*(1/x)



  • pour la dérivé je trouve ça:

    f'(x)= 1 - 400/x²
    = (x²-400)/x²
    Est-ce que c'est bon?
    Je ne sais pas comment faire pour trouver le signe et le tableau des variations.



  • ok pour la dérivée
    pour le tableau de signe tu devrais avoir un exemple dans ton cours...
    pour x ∈ I
    I = ]0 ; +∞[
    le dénominateur est toujours positif
    il faut étudier le signe du numérateur pour connaitre le signe de la dérivée
    x² - 400 > 0
    ⇔ ...



  • Mercie
    Pour trouver le signe du numérateur j'ai fais
    je sais pas si on peut utiliser une identité remarquable : a²-b²= (a-b)(a+b).
    si je fais ça je trouve : x²-400=(x-20)(x+20)
    aprés je fais soit x-20=0 ou soit x+20=0
    x=20 x=-20
    On garde que 20 car -20 n'apartient pas à ]0;+∞[
    est-ce que c'est bon? j'ai aussi un probléme par rapport à l'asymptote.



  • c'est bien de calculer la valeur pour laquelle la dérivée s'annule mais le signe tu ne me l'a toujours pas donné...
    tu n'as pas vu une propriété du style

    si
    limx+f(x)g(x)=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x)- g(x) = 0 alors g est une asymptote à f

    regarde dans ton cours pour connaitre la dèfinition exacte



  • Oui on a vu cette propriété:
    si j'applique cela fait:
    f(x)-g(x)= x-20+400/x - (x-20)
    = 400/x
    Par rapport au signe
    x² - 400 > 0
    ⇔ x²>400
    Donc x²>0 jusqu'à 400?
    Si non pour le tableau des variations f(x) est toujours croissante?



  • Oui mais il faut surtout chercher

    limx±,f(x)g(x),=,limx±,400x\lim _{x \rightarrow {\pm} \infty },f(x) - g(x),=, \lim _{x \rightarrow {\pm} \infty },\frac{400}{x}



  • ah Ok

    lim 400/x = 0 lim 400/x = 0
    x->+∞ x->-∞

    lim 400/x = +∞
    x->0

    Est-ce" que c'est bon?



  • la limite en +∞ est suffisante je pense (pas de 0)
    maintenant tu vas essayer de réfléchir à ton calcul
    quand tu fais tendre vers +∞ la différence de ses deux fonctions tu trouves 0 donc l'écart se réduit, les deux se rapprochent ... tu comprends ?!



  • Les 2 premières sont justes et utiles pour teouver l'équation de l'asymptote oblique.

    La 3 ème est juste mais inutile !



  • Ok mercie
    j'ai fais x->0 car dans le domaine de définition ils donnent ]0;+∞],si c'est inutile, c'est pas grave.
    Donc c'est une asymptote oblique?
    je peux faire la formule : f(x)-(ax+b)=0 ?
    si non comment je fais pour trouver l'équation de l'autre asymptote?



  • je peux faire la formule : f(x)-(ax+b)=0 ?
    c'est la limite en ∞ de f(x)-(ax+b)=0
    oui c'est une asymptote oblique pour l'autre asymptote la limite en 0 devient utile 😉



  • Ok mercie
    Mais pour les signes vous m'avez pas dis si c'est bon.
    Pour le tableau des vriations , est-ced que la courbe est croissante dans ]0;+∞[ ?



  • le signe tu ne me l'as pas donné
    tu m'as dit pour quelle valeur la dérivée s'annule et non sur quel(s) intervale(s) elles est positive ou négative



  • alors pour le signe

    f'(x)= 1-400/x²

    on sait que 1>0
    400/x²>0

    Donc 1-400/x²>0
    Je c'est pas si c'est bon.
    Si non est-ce que je dois mettre la valeur pour la quelle la dérivée s'annule dans le tableau de variation?
    Si non je ne sais pas comment donner l'équation de l'autre asymptote à C?
    Mercie pour vos réponses



  • Tu es certaine que 1 - 400/x² est un nombre positif pour tout x dans ]0 ; +∞[

    Regarde ce que cela donne pour x = 1 et x = 30 ?

    Il faut étudier le signe de 1,+,400x2,=,x2,,400x21,+,\frac{400}{x^2},=,\frac{x^2,-,400}{x^2}

    x² > 0 pour tout x de ]0 ; +∞[ ; il faut donc étudier le signe de x² - 400 ....

    c'est un polynome du second degré du genre ax² + bx + c

    avec a = ??? b = ???? et c = ???



  • ah d'accord

    Donc je dois utiliser b²-4ac?
    Avec a= 1,b=0,c=-400
    =-41-400
    = 1600
    aprés j'ai deux racines x1= -20 et x2= 20
    Est-ce que c'est bon?
    et puis je ne sais pas comment on peux donner l'équation à l' autre asymptote de C. Pouriez-vous m'aider?



  • tu me refais ce que tu m'as écrit la fois dernière
    oui pour x = 20 et x = -20
    x² - 400 = 0
    la dérivée s'annule

    le coefficient de x² est positif (=1) donc la dérivée est ... au dehors des racines et ... dans les racines
    tu n'as jamais vu quelque chose ressemblant à ça ?!
    maintenant je veux que tu me dises qur quel intervale la dérivée est positive



  • la dérivée est positive pour l'intervalle :]0;-20 ] 20;+∞] ?
    ]-20;20] elle est négative.Donc la courbe est croissante , puis décroissante , puis croissante?



  • voilà
    c'est presque ça
    :strictement positive sur ]-∞;-20[ U ] 20;+∞]
    et strictement négative sur ]-20;20[
    bien maintenant on regarde l'intervale de définition de la fonction donc on dit
    la dérivée est srictement négative sur [0 ;20[ et strictement positive sur ]20;+∞[
    la fonction est décroissante puis croissante
    pour l'asymptote tu as vu que la limite en 0 fait ∞ donc tu as une asymptote verticale d'équation ...


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.