équation avec une variable comme exposant



  • Bonjour à tous et à toutes.
    Je continue à poster des messages car le bac se rapprochant, je multiplie les exercices mais n'arrive pas toujours à aller jusqu'au bout.

    L'exercice proposé est:

    Le prix de revente Y d'une machine, exprimé en centaines d'euros, est modélisé en fonction du nombre t d'années d'utilisation.
    Y= 0.820^t x 29.934
    A) quel est le prix de vente de la machine lorsqu'elle est neuve?
    Selon moi, je remplace t par O, ce qui me donne: 29.934, soit 2993.4 euros??

    B) Quel est le prix de vente de la machine après 6 ans d'utilisation?

    Selon moi, je remplace t par 6, ce qui me donne environ: 9.10 soit 910 euros??

    C) ( voilà le problème) Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur?

    Selon moi, je ferai: 0.820^t x 29.934 = 0.5 ( 0.820^t x 29.934)
    Je sens qu'il y a une subtilité et je ne veux pas bloquer de peur d'avoir un exercice similaire au bac.
    Je voudrais comprendre le raisonnement, le résultat m'importe peu.

    Merci d'avance. 😄
    Bonne soirée


  • Modérateurs

    Salut.

    Y= 0.820t820^t*29.934

    A) C'est bon.

    B) Je suis d'accord.

    C) Et non, ce n'est pas cela, et tu te rends bien compte qu'il n'y a pas de solution à ton équation.

    On demande au bout de combien d'années elle aura perdu la moitié de sa valeur. Or le membre de droite de ton équation qui était censé représenter "la moitié de la valeur" devrait alors être fixe. Tu as juste écrit Y(t)=Y(t)/2.

    Ce qu'il faut faire c'est d'abord fixer t : ça donne un point de départ. Par exemple pour t=0, Y(0)=29,934. On se demande quand est-ce que Y(t) = Y(0)/2, ce qui revient à résoudre 0.820t820^t*29.934 = 29,934/2.

    Maintenant on peut le faire pour un t quelconque. Prenons t=t0t=t_0.
    Alors Y(t0Y(t_0) = 0.820820^{t_0$}$*29.934.
    Puis on résout l'équation Y(t) = Y(t0Y(t_0)/2 : on exprime t en fonction de t0t_0.

    Je te laisse résoudre tout ça. 😄

    @+



  • Bonjour,
    J'avoue que l'explication est très bien mais je ne vois pas encore clairement la démarche.
    Après votre message, je pense donc qu'il faut que je pose:

    0.820^t x 29.934 = ( 29.934) / 2 ??

    Via ma calculatrice, je trouve que ma réponse doit s'approcher de 3.5 ,or grâce à votre idée je ferai:

    0.820^t x 29.934 = 14.967
    0.820^t = 0.5
    Je compose ensuite par la fonction ln, ce qui me donne: t x ln(0.820) = ln(0.5)
    Donc, t serait approximativement égal a 3.5.

    Merci beaucoup de l'aide même si je ne suis pas du tout sûre de ma démarche, merci quand même de l'aide

    Bonne soirée

    @+


  • Modérateurs

    Salut.

    Non c'est moi qui a mal expliqué. 😄

    A mon avis, ce n'est pas que tu n'as pas compris la démarche, mais plutôt que l'as mal transcrite en langage mathématique. Tout ce que j'ai fait, c'est écrire correctement ce à quoi tu pensais. Donc, tu as, à mon avis, totalement compris le problème, et l'erreur viendrait en fait de la mise en équation.

    On reprend la phrase pas à pas, mais à l'envers : "Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?"

    • "sa valeur" : neuve la machine vaut Y(0) = 29,934
      ×100€

    • "la moitié de sa valeur" : on prend la moitié, donc 29,934/2.

    • "Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?" : donc on demande pour quel t le prix de la machine, Y(t), sera égal à la moitié de la valeur de départ, Y(0)/2. D'où l'équation Y(t) = Y(0)/2.

    @+



  • Bonjour,

    le résultat 3.5 est donc faux??

    Carsi je transcris ce que vous dites, y(t)= 0.820^t x 29.934
    y(0)= 29. 934
    Or, j'ai posé: y(t)= 14.967 et pensais après avoir relu votre message avoir compris.
    Désolée d'insister.
    Merci de votre réponse.
    @+


  • Modérateurs

    Salut.

    Le résultat n'est pas faux, ne t'inquiète pas. 😉

    J'ai juste répondu à tes remarques : "je ne vois pas encore clairement la démarche" et "même si je ne suis pas du tout sûre de ma démarche"; dans mon précédent post.

    @+



  • Bonsoir,
    Merci donc de votre aide.
    @ bientôt bonne soirée 😄


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