fonction et translation



  • bonjour à tous, je vais commencer par remercier ceux qui m'ont aidé dans mon dernier post. donc merci et en poster un nouveau
    voici mon nouveau probleme

    dans la fonction
    f(x;y)=x²+2xy+3y²-4x-6y+5/2=0
    par une translation des axes de coordonnées
    x=x0+X
    y=y0+Y
    trouver x0 et y0 pour que la nouvelle equation ne contienne pas de tremes du premier degres en X et Y

    merci de votre aide



  • Bonjour,

    Si je comprends la question il faut que si on remplace

    x par (x0(x_0 + x)
    y par (y0(y_0 + y)

    l'expression f(x;y) ne contienne plus de termes x et y ?

    f(x;y)=x²+2xy+3y²-4x-6y+5/2

    f(x;y)=(x0y)=(x_0+x)² + 2(x02(x_0+x) (y0(y_0+y) + 3(y03(y_0+y)² - 4(x04(x_0+x) - 6(y06(y_0+y) + 5/2

    Il faut développer ceci .... ce n'est pas très réjouissant mais il faut en passer par là ...



  • ma chére Zorro j'ai suivi ton conseil est j'ai développé
    je tombe sur ça:
    x0 +2x0X +X² +x0y0 +x0Y +Xy0 +XY+3y0² +6y0Y +3Y² -4x0 -4X -6y0 -6Y +5/2
    en espérant que jusque là j'ai juste je ne voit pas comment eliminer les X,Y du premier degres en donnant un valeur quelconque à x0 et y0 ne serait-ce que pour le couple XY en gras
    si tu a une idée



  • Je trouve en effet que les xy ne peuvent pas disparaître ... mais je ne trouve pas comme toi ...

    pour simplifier l'écriture avec x0x_0 et y0y_0 un peu longs à écrire je vais prendre

    x = X + a et y = Y + b

    on arrive à f(x;y) = (X+a)² + (2X+2a) (Y+b) + 3(Y+b)² - 4(X+a) - 6(Y+b) + 5/2 =

    X² + 2aX + a² + 2XY + 2bX + 2aY + 2ab + 3Y² + 6bY + 6b² - 4X - 4a - 6Y - 6b +5/2

    X² + 3Y² + 2XY + X(2a + 2b - 4) + Y(2a + 6b - 6) + A

    avc A = a² + 2ab + 6b² - 4a - 6b + 5/2

    Pour ne plus avoir de termes en X et Y il faut que

    2a + 2b - 4 = 0
    et
    2a + 6b - 6 = 0

    donc
    a + b = 2
    et
    a + 3b = 3

    qui a pour solution a = 3/2 et b = 1/2 ...



  • merci beaucoup tu as raison non seulement j ai mal recopier mon developpement mais en plus j'ai omis une multiplication par 2 pour la suite de l'exercice on me demende d'effectuer une rotation des axes de coordonnées d'angle ℘ pour que le coefficientdu terme en XYsoit nul
    pour mon calcul dois je calculer le grand A et l'integrer a la nouvelle equation



  • Ah bin oui il faut calculelr A pour a = 3/2 et b = 1/2 ...



  • Jusqu'à présent j'ai suivi la même méthode que celle que tu suivais. Est-ce celle qui est préconisée dans la résolution de ton exo ?

    Sinon la méthode suivante soufflée à miumiu par Jeet-chris semble marcher à tous les coups. Merci à l'esprit d'équipe qui règne ici et qui me permet de te répondre de façon efficace (sans eux je ne l'aurais pas trouvée car je ne la connaissais pas ...)

    On ne s'occupe que de x² + 2xy + 3y²

    x²+ 2xy + 3y² = (x²+ 2xy + y²) + 2y² = (x+y)² + (√2y)²

    on pose X = x + y et Y = √2y

    Puis on remplace x = X - 2y2\frac{\sqrt{2}y}{2} et y =,2y2,\frac{\sqrt{2}y}{2} dans l'équation donnée

    On développe

    x² + 2xy + 3y² - 4x - 6y + ,52,\frac{5}{2} = 0

    ⇔ (X - ,2y2,\frac{\sqrt{2}y}{2})² + 2 (X-2y2\frac{\sqrt{2}y}{2})(2y2\frac{\sqrt{2}y}{2}) + 3( 2y2\frac{\sqrt{2}y}{2})²- 4(X- 2y2\frac{\sqrt{2}y}{2}) - 6(2y2\frac{\sqrt{2}y}{2}) + 52\frac{5}{2}=0

    ⇔ X² - √2XY + 12\frac{1}{2}Y² + √2XY - Y² + 32\frac{3}{2}Y² -4X + 2√2 Y - 3√2 Y + 52\frac{5}{2} = 0

    ⇔ X²+Y²-4X-√2Y+52\frac{5}{2}=0

    ⇔ (X - 2)² + (Y - 22\frac{\sqrt{2}}{2})² -4 - 12\frac{1}{2} + 52\frac{5}{2} = 0

    ⇔ (X - 2)² + (Y - 22\frac{\sqrt{2}}{2})² = 2

    et là on a bien fait une translation cherchée.
    ça marche à tous les coups quand on a pas besoin "d'orthonormaliser" la nouvelle base
    et il n'y a en plus pas besoin de réfléchir, c'est du calcul "bourrin" mais il marche à tous les coups


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