double integrale

bonjour j ai besoin d aide pour resoudre ces 2 integrales double de 2 façons différentes si quelqu un pouvait m'aider et m'expliquer:

∫∫ $_D$ (dx dy) $x+y)^3$ pour D : x≥1 ; y ≥1 ; x+y ≤3

et

∫∫ $_D$ (x+y) dx dy
pour D : x≥1 ; y ≥1 ; x²+y² ≤4

merci

Salut.

Par exemple tu peux intégrer :

directement ;
après changement de variable.

Prenons la première intégrale.

Dessine dans un coin D : c'est la surface du triangle de sommets de coordonnées (1;1), (1;2) et (2;1).
Ce que l'on va faire, c'est intégrer par rapport à x puis par rapport à y, mais on aurait très bien pu commencer par y.
Après un petit raisonnement on se rend compte que pour un y donné, x est compris entre 1 et 3-y. Donc on intègre la fonction par rapport à x de 1 à 3-y.
Puis y varie de 1 à 2, donc on intègre le résultat obtenu par rapport à y de 1 à 2.

Ca c'était la façon directe. Maintenant le changement de variables :

A vue de nez on peut prendre u=x+y. D'après les inégalités de l'énoncé, on va intégrer par rapport à u de 2 à 3. Reste à exprimer dxdy en fonction de du, et on y va !

Amuse-toi bien.

@+

merci Jeet-Chris je viens de revoir mon cours et je pense que par deux méthodes différentes
ils entendent 1ére méthode intégration par X et 2éme par Y
te serait -il possible de me détailler la première intégrale double par l'une des deux méthodes ?
pour que je comprenne la démarche et puisse l'utiliser sur mes autres exercices STP.
merci

Salut.

J'ai supprimé les 3 derniers messages, le mien comportant une erreur durant le calcul de l'intégrale. Comme tu n'as pas l'air d'avoir appris cette méthode dans ton cours, effaçons tout et reprenons ça à zéro.

Je répète pour ceux qui lisent le sujet après que j'aie effacé les messages : le changement de variable u=x+y n'est pas valide du tout (une erreur de ma part), j'en avais choisi un autre finalement, mais passons.

Après réflexion je me suis dis que les deux méthodes en question peuvent être d'effectuer le calcul en commençant soit par x, soit par y.

Donc effectuons le calcul de l'intégrale par étapes.

1°)
Expliciter le domaine d'intégration D.

On prend une feuille et on trace un repère pour commencer. On repère la zone du plan tel que 1≤x, 1≤y et x+y≤3, c'est-à-dire tel que x≤3-y.

On remarque que c'est la surface du triangle de sommet de coordonnées (1;1), (1;2) et (2;1).

2°)
Détermination des bornes d'intégration.

On sait que 1≤x, 1≤y et x+y≤3. On peut récrire ces inégalités comme ça :

1≤x≤3-y
1≤y

Il nous manque la borne supérieure de y. C'est là que la compréhension de ce que l'on fait intervient (alors regarde ton dessin). Pour un y fixé, on a x compris entre 1 et 3-y. Sur notre triangle, cela représente une tranche horizontale. Ces tranches se déplacent sur le triangle du bord inférieur (y=1) au sommet tout en haut (y=2). Voilà ! On a trouvé, y≤2.

Conclusion, x∈[1;3-y] et y∈[1;2].

3°)
Calcul de l'intégrale.

Les bornes de x dépendent de y, donc il va falloir commencer par intégrer par rapport à x. Ensuite l'expression obtenue ne dépendra plus que de y, et on fini d'intégrer.

$∫12(∫13−ydx(x+y)3)dy=∫12[−12(x+y)2]x=1x=3−ydy=∫12(−118+12(1+y)2)dy=−118+112=136\displaystyle \int_1^2\left( \int_1^{3-y} \frac{dx}{(x+y)^3} \right) dy = \int_1^2\left[ \frac{-1}{2(x+y)^2} \right]_{x=1}^{x=3-y} dy = \int_1^2 \left( -\frac{1}{18} +\frac{1}{2(1+y)^2}\right) dy = -\frac{1}{18}+\frac{1}{12} = \frac{1}{36}$

C'est bon, c'est fait ! (et j'ai vérifié le calcul avec un logiciel, donc là c'est bon) :razz:

Comment faire l'autre méthode ? Et bien en disant cette fois-ci que 1≤y≤3-x pardi ! Et on recommence. Cette fois-ci les tranches sont verticales, et 1≤x≤2.

@+

Bonjour,
Je suis comme gerald37 j'ai un peu de mal avec les intégrales double !
J'ai essayer de faire la deuxième :
∫∫D (x+y) dx dy
pour D : x≥1 ; y ≥1 ; x²+y² ≤4
Mais je ne parviens pas à déterminer les bornes !
Si quelqu'un pouvait m'aider.
Merci d'avance.

bonjour,
en fait, tu cherches à résoudre le système $\left{\begin{tabular}{c}x \ge 1 \ y \ge 1 \ x^2+y^2\leq 4\end{tabular}\right.$
tu commences par t'interesser à la dernière inéquation tu as (par exemple) $0≤x2≤4−y20\leq x^2\leq 4-y^2$ tu vois donc que tu dois avoir $y2≤4y^2 \leq 4$ cad $y∈[−2,2]y\in [-2,2]$ et $x∈[−4−y2,4−y2]x\in [-\sqrt{4-y^2},\sqrt{4-y^2}]$

puis je te laisse finir avec les deux autres inéquations