Séries



  • Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice.

    Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par
    f(t)=exp(at) si t [0,2pi].
    a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi]
    b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f.
    c) Calculer la somme de la série
    ∑(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²)

    Je n'arrive pas à résoudre la dernière quesiton.

    J'ai an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))


  • Modérateurs

    Salut.

    Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet en x=0. N'oublie pas le a0a_0 dans la formule de la somme de la série. 😄

    Comme le numérateur de ana_n ne dépend pas de n, tu pourras le mettre en facteur, ce qui fait apparaitre la somme en question. 😉

    @+



  • D'accord par contre j'ai un soucis pour calculer (f(0+)+f(0-))/2 je n'y arrive pas. J'ai pas réussis à faire le graphe non plus du coup je suis un peu embêtté. :frowning2:
    J'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi.
    Pouvez-vous m'aider svp?
    Merci.


  • Modérateurs

    Salut.

    Ben déjà il y a un problème au niveau de la définition : f(t) = exp(at) sur ]0;2pipi] ou [0;2pipi[ ? Parce que sur [0;2pipi] ce n'est pas possible (il y a discontinuité aux bornes).

    De toute manière on a f(0f(0^-) qui vaut exp(2pipia) et f(0+f(0^+) est égal à 1. Donc la moyenne est simple à faire.

    Effectivement, si tu n'as pas compris la définition de f, tu ne risques pas d'y arriver.

    Essayons ensemble (je prends l'intervalle [0;2pipi[, mais au hasard, vu que j'attends ta précision) :

    • f(t) = exp(at) sur [0;2pipi[ : donc il suffit de tracer la courbe de f sur cet intervalle dans un premier temps;

    • f est 2pipi-périodique : donc sur [-2pipi;0[ la courbe de f est la même que celle sur [0;2pipi[. On trace.

    Une fois la courbe tracée, on arrive à lire graphiquement les valeurs de f en 00^- et en 0+0^+. 😄

    @+



  • C'est sur [0;2[ en effet désolé pour l'erreur.
    Merci de ton aide.
    Je trouve pour la somme: (exp(2api)(2pi-1))/(4a(exp(2api)-1))
    Pense-tu que cela est correcte?


  • Modérateurs

    Salut.

    Ton résultat me parait bizarre. Pour a=0 on devrait retrouver pipi²/6, alors que là ça diverge.

    Es-tu sûr de tes coefficients trigonométriques ? D'ailleurs pourquoi ne pas se limiter au coefficient exponentiel vu qu'il est plus simple à manipuler ici ?

    @+



  • Pour a0 j'ai a0=(exp(2pia)-1)/2pia et non ce que j'avais donné.
    J'ai recalculer la somme avec ce a0 car je mettais trompé en calculant et j'obtiens: (exp(2pia)(4a-1)+4a-1)/(a4²(exp(2pia)-1)
    Est-ce que cela te semble un peu plus ccorrect?
    Sinon j'ai aussi cn si tu veux mais je ne vois pas comment l'utilisé ici pour calculer cette somme.
    Cn=exp(2pia)/(2pi(a-in)).


  • Modérateurs

    Salut.

    Cette fois ça tend vers -∞ quand a tend vers 0. Ce n'est toujours pas ça.

    Si tu as calculé ana_n et bnb_n à l'aide de cnc_n je comprends ton erreur. Personnellement je n'ai pas trouvé cela.

    cn=12π02πf(t)eintdt=12π02πe(ain)tdt=12π(ain)[e(ain)t]02π\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{(a-in)t}dt = \frac{1}{2\pi(a-in)} \left[ e^{(a-in)t} \right]_0^{2\pi}

    D'où cn=e2π(ain)12π(ain)c_n = \frac{e^{2\pi(a-in)}-1}{2\pi(a-in)}. 😄

    @+



  • coucou

    Je n'ai pas calculé ana_n et bnb_n à l'aide de cnc_n pourtant.
    Pour cnc_n je trouve bien ce que vous avez en effet je m'étais trompé à la fin.
    Pour ana_n et bnb_n j'ai procédé de cette manière:
    $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} cos(nt)dt}$
    $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} sin(nt)dt}$
    Pour ana_n je suis tombé sur un système de la forme 1πi=1π(a+bi)\frac{1}{\pi}i=\frac{1}{\pi}(a+bi) avec i=02πeatcos(nt)dti=\int_{0}^{2\pi} e^{at}cos(nt)dt



  • Pour la somme je ne vois pas comment calculer à partir de cnc_n.
    Peux-tu me dire comment faire? stp.
    Merci.


  • Modérateurs

    Salut.

    C'est exactement pareil que pour les ana_n vu que ana_n = cnc_n + cnc_{-n}.

    Ce qui serait bien c'est de faire le calcul pour trouver ton erreur dans les ana_n. Sinon vérifie ton calcul des ana_n, une faute a pu s'y glisser.

    @+



  • Salut.

    Voici mon calcul de an.
    an=1π02πeatcos(nt)dta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}
    an=1π([sin(nt)neat]02πaeatsin(nt)ndt)a_n=\frac{1}{\pi}([\frac{sin(nt)}{n}e^{at}]-\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{sin(nt)}{n}dt)}
    an=1π(an[cos(nt)neat]an02πaeatcos(nt)ndt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}[\frac{cos(nt)}{n}e^{at}]-\frac{a}{n}\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{cos(nt)}{n}dt)}
    an=1π(an(1ne2api+1n)a2n202πeatcos(nt)dt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}(\frac{-1}{n}e^{2api}+\frac{1}{n})-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}
    an=1π(a2n2(e2api1)a2n202πeatcos(nt)dt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{a^{2}}{n^{2}}(e^{2api}-1)-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}
    Je pose i=02πeatcos(nt)dti=\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}
    On a donc I=a+bI
    i=a1bi=\frac{a}{1-b}
    Je trouve i=a(e2api1)n2+a2i=\frac{a(e^{2api}-1)}{n^{2}+a^{2}}
    Enfin $a_n=\frac{a(e^{2api}-1)}{pi(n^{2}+a^{2})$


  • Modérateurs

    Salut.

    Erreur de signe à la troisième ligne. Devant le crochet c'est un + et non un -. Le premier était devant l'intégrale en ligne 2 et le second est venu après primitivation du sinus dans le crochet.

    Si tu préfères, tu as oublié un signe - dans le crochet en fait. 😄

    @+



  • ok c'est un oubli mais pour la suite j'ai utilisé le moins. 😉
    Par contre je pense qu'il y a bien un moins pour an\frac{-a}{n} car on calcule - intégrale ... ou bien je me trompe?


  • Modérateurs

    Salut.

    Effectivement le signe - est revenu, j'aurai dû lire la suite, désolé. 😄

    Dans ce cas 5ème ligne, pourquoi un a² devant la parenthèse ? Devant l'intégrale je suis d'accord, mais le crochet n'a pas fourni de a en facteur supplémentaire.

    @+



  • Salut.

    Pas grave 😉
    C'est exacte sur ma feuille il n'y as pas de a² encore une faute de frappe.
    Normalement pour la suite il ne devrait pas apparître.
    Oui je ne l'ai pas mis après. 😉


  • Modérateurs

    Salut.

    Bon je te fais confiance pour les ana_n dans ce cas. J'ai calculé avec tes formules la somme de la série et je n'ai pas du tout trouvé comme toi, donc l'erreur est là.

    Pour x=0 on peut donc écrire d'après le théorème de Dirichlet (les hypothèses sont vérifiables) :

    f(0+)+f(0)2=a02+n=1+an\displaystyle \frac{f(0^+)+f(0-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n

    En remplaçant par tes expressions j'en arrive à :

    e2πa+12=e2πa14π+aπ(e2πa1)n=1+1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}

    Puis comme a≠0 on peut diviser par exp(2pipia)-1 :

    e2πa+12(e2πa1)=14π+aπn=1+1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}

    On termine le calcul simplement ce qui fournit :

    n=1+1n2+a2=2π(e2πa+1)(e2πa1)4a(e2πa1)=(2π1)e2πa+(2π+1)4a(e2πa1)\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi-1)e^{2\pi a}+(2\pi+1)}{4a(e^{2\pi a}-1)}

    Ce qui ne ressemble pas à ton "(exp(2pia)(4a-1)+4a -1)/(a4²(exp(2pia)-1)".

    Vérifie que je ne me suis pas non plus trompé quand même. :razz:

    @+



  • Salut.

    Ton calcul est juste je me suis bien trompé.
    Je me suis trompé à la fin en mettant le tout sous le même dénominateur.
    Merci.
    Par contre pour a_0 je n'avais pas tout à fait sa non plus.
    J'aie2pia12pia\frac{e^{2pia}-1}{2pia}
    Du coup je n'ai pas tout à fait la même chose mais presque. ;=


  • Modérateurs

    Salut.

    Zut ! J'ai bien mal recopié ta formule : j'ai oublié le a au dénominateur. J'ai donc faux.

    Je recommence.

    e2πa+12=e2πa14πa+aπ(e2πa1)n=1+1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}

    e2πa+12(e2πa1)=14πa+aπn=1+1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}

    n=1+1n2+a2=2πa(e2πa+1)(e2πa1)4a2(e2πa1)=(2πa1)e2πa+(2πa+1)4a2(e2πa1)\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi a(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi a-1)e^{2\pi a}+(2\pi a+1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)}

    Pfiou ! 😁

    @+



  • Salut.
    J'ai pareil cette fois ouf lol.
    Merci de m'avoir aider. 🆒


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