Séries
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Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par
f(t)=exp(at) si t [0,2pi].
a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi]
b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f.
c) Calculer la somme de la série
∑(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²)Je n'arrive pas à résoudre la dernière quesiton.
J'ai an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))
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Salut.
Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet en x=0. N'oublie pas le dans la formule de la somme de la série.
Comme le numérateur de ne dépend pas de n, tu pourras le mettre en facteur, ce qui fait apparaitre la somme en question.
@+
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D'accord par contre j'ai un soucis pour calculer (f(0+)+f(0-))/2 je n'y arrive pas. J'ai pas réussis à faire le graphe non plus du coup je suis un peu embêtté. :frowning2:
J'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci.
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Salut.
Ben déjà il y a un problème au niveau de la définition : f(t) = exp(at) sur ]0;2] ou [0;2[ ? Parce que sur [0;2] ce n'est pas possible (il y a discontinuité aux bornes).
De toute manière on a ) qui vaut exp(2a) et ) est égal à 1. Donc la moyenne est simple à faire.
Effectivement, si tu n'as pas compris la définition de f, tu ne risques pas d'y arriver.
Essayons ensemble (je prends l'intervalle [0;2[, mais au hasard, vu que j'attends ta précision) :
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f(t) = exp(at) sur [0;2[ : donc il suffit de tracer la courbe de f sur cet intervalle dans un premier temps;
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f est 2-périodique : donc sur [-2;0[ la courbe de f est la même que celle sur [0;2[. On trace.
Une fois la courbe tracée, on arrive à lire graphiquement les valeurs de f en et en .
@+
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C'est sur [0;2[ en effet désolé pour l'erreur.
Merci de ton aide.
Je trouve pour la somme: (exp(2api)(2pi-1))/(4a(exp(2api)-1))
Pense-tu que cela est correcte?
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Salut.
Ton résultat me parait bizarre. Pour a=0 on devrait retrouver ²/6, alors que là ça diverge.
Es-tu sûr de tes coefficients trigonométriques ? D'ailleurs pourquoi ne pas se limiter au coefficient exponentiel vu qu'il est plus simple à manipuler ici ?
@+
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Pour a0 j'ai a0=(exp(2pia)-1)/2pia et non ce que j'avais donné.
J'ai recalculer la somme avec ce a0 car je mettais trompé en calculant et j'obtiens: (exp(2pia)(4a-1)+4a-1)/(a4²(exp(2pia)-1)
Est-ce que cela te semble un peu plus ccorrect?
Sinon j'ai aussi cn si tu veux mais je ne vois pas comment l'utilisé ici pour calculer cette somme.
Cn=exp(2pia)/(2pi(a-in)).
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Salut.
Cette fois ça tend vers -∞ quand a tend vers 0. Ce n'est toujours pas ça.
Si tu as calculé et à l'aide de je comprends ton erreur. Personnellement je n'ai pas trouvé cela.
D'où .
@+
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coucou
Je n'ai pas calculé et à l'aide de pourtant.
Pour je trouve bien ce que vous avez en effet je m'étais trompé à la fin.
Pour et j'ai procédé de cette manière:
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} cos(nt)dt}$
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} sin(nt)dt}$
Pour je suis tombé sur un système de la forme avec
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Pour la somme je ne vois pas comment calculer à partir de .
Peux-tu me dire comment faire? stp.
Merci.
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Salut.
C'est exactement pareil que pour les vu que = + .
Ce qui serait bien c'est de faire le calcul pour trouver ton erreur dans les . Sinon vérifie ton calcul des , une faute a pu s'y glisser.
@+
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Salut.
Voici mon calcul de an.
Je pose
On a donc I=a+bI
Je trouve
Enfin $a_n=\frac{a(e^{2api}-1)}{pi(n^{2}+a^{2})$
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Salut.
Erreur de signe à la troisième ligne. Devant le crochet c'est un + et non un -. Le premier était devant l'intégrale en ligne 2 et le second est venu après primitivation du sinus dans le crochet.
Si tu préfères, tu as oublié un signe - dans le crochet en fait.
@+
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ok c'est un oubli mais pour la suite j'ai utilisé le moins.
Par contre je pense qu'il y a bien un moins pour car on calcule - intégrale ... ou bien je me trompe?
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Salut.
Effectivement le signe - est revenu, j'aurai dû lire la suite, désolé.
Dans ce cas 5ème ligne, pourquoi un a² devant la parenthèse ? Devant l'intégrale je suis d'accord, mais le crochet n'a pas fourni de a en facteur supplémentaire.
@+
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Salut.
Pas grave
C'est exacte sur ma feuille il n'y as pas de a² encore une faute de frappe.
Normalement pour la suite il ne devrait pas apparître.
Oui je ne l'ai pas mis après.
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Salut.
Bon je te fais confiance pour les dans ce cas. J'ai calculé avec tes formules la somme de la série et je n'ai pas du tout trouvé comme toi, donc l'erreur est là.
Pour x=0 on peut donc écrire d'après le théorème de Dirichlet (les hypothèses sont vérifiables) :
En remplaçant par tes expressions j'en arrive à :
Puis comme a≠0 on peut diviser par exp(2a)-1 :
On termine le calcul simplement ce qui fournit :
Ce qui ne ressemble pas à ton "(exp(2pia)(4a-1)+4a -1)/(a4²(exp(2pia)-1)".
Vérifie que je ne me suis pas non plus trompé quand même. :razz:
@+
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Salut.
Ton calcul est juste je me suis bien trompé.
Je me suis trompé à la fin en mettant le tout sous le même dénominateur.
Merci.
Par contre pour a_0 je n'avais pas tout à fait sa non plus.
J'ai
Du coup je n'ai pas tout à fait la même chose mais presque. ;=
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Salut.
Zut ! J'ai bien mal recopié ta formule : j'ai oublié le a au dénominateur. J'ai donc faux.
Je recommence.
Pfiou !
@+
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Salut.
J'ai pareil cette fois ouf lol.
Merci de m'avoir aider.