Séries

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice.

Soit a diférent de 0. Soit f:R->R la fonction 2pi périodique définie par
f(t)=exp(at) si t [0,2pi].
a) Dessiner le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-2pi,2pi]
b) Déterminer la série de Fourier de la fonction f.
c) Calculer la somme de la série
∑(de n=1 à l'infini) de 1/(n²+a²)

Je n'arrive pas à résoudre la dernière quesiton.

J'ai an=(a(exp(2pia)-1))/(pi(n²+a²) et bn=(-n(exp(2pia)-1)/(pi(n²+a²))

Salut.

Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet en x=0. N'oublie pas le $a_0$ dans la formule de la somme de la série.

Comme le numérateur de $a_n$ ne dépend pas de n, tu pourras le mettre en facteur, ce qui fait apparaitre la somme en question.

@+

D'accord par contre j'ai un soucis pour calculer (f(0+)+f(0-))/2 je n'y arrive pas. J'ai pas réussis à faire le graphe non plus du coup je suis un peu embêtté. :frowning2:
J'ai trouver a0=(exp(2pia)-1)/2pi.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci.

Salut.

Ben déjà il y a un problème au niveau de la définition : f(t) = exp(at) sur ]0;2 $p i$ ] ou [0;2 $p i$ [ ? Parce que sur [0;2 $p i$ ] ce n'est pas possible (il y a discontinuité aux bornes).

De toute manière on a $f(0^-$ ) qui vaut exp(2 $p i$ a) et $f(0^+$ ) est égal à 1. Donc la moyenne est simple à faire.

Effectivement, si tu n'as pas compris la définition de f, tu ne risques pas d'y arriver.

Essayons ensemble (je prends l'intervalle [0;2 $p i$ [, mais au hasard, vu que j'attends ta précision) :

f(t) = exp(at) sur [0;2 $p i$ [ : donc il suffit de tracer la courbe de f sur cet intervalle dans un premier temps;
f est 2 $p i$ -périodique : donc sur [-2 $p i$ ;0[ la courbe de f est la même que celle sur [0;2 $p i$ [. On trace.

Une fois la courbe tracée, on arrive à lire graphiquement les valeurs de f en $0^-$ et en $0^+$ .

@+

C'est sur [0;2[ en effet désolé pour l'erreur.
Merci de ton aide.
Je trouve pour la somme: (exp(2api)(2pi-1))/(4a(exp(2api)-1))
Pense-tu que cela est correcte?

Salut.

Ton résultat me parait bizarre. Pour a=0 on devrait retrouver $p i$ ²/6, alors que là ça diverge.

Es-tu sûr de tes coefficients trigonométriques ? D'ailleurs pourquoi ne pas se limiter au coefficient exponentiel vu qu'il est plus simple à manipuler ici ?

@+

Pour a0 j'ai a0=(exp(2pia)-1)/2pia et non ce que j'avais donné.
J'ai recalculer la somme avec ce a0 car je mettais trompé en calculant et j'obtiens: (exp(2pia)(4a-1)+4a-1)/(a4²(exp(2pia)-1)
Est-ce que cela te semble un peu plus ccorrect?
Sinon j'ai aussi cn si tu veux mais je ne vois pas comment l'utilisé ici pour calculer cette somme.
Cn=exp(2pia)/(2pi(a-in)).

Salut.

Cette fois ça tend vers -∞ quand a tend vers 0. Ce n'est toujours pas ça.

Si tu as calculé $a_n$ et $b_n$ à l'aide de $c_n$ je comprends ton erreur. Personnellement je n'ai pas trouvé cela.

$cn=12π∫02πf(t)e−intdt=12π∫02πe(a−in)tdt=12π(a−in)[e(a−in)t]02π\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{(a-in)t}dt = \frac{1}{2\pi(a-in)} \left[ e^{(a-in)t} \right]_0^{2\pi}$

D'où $cn=e2π(a−in)−12π(a−in)c_n = \frac{e^{2\pi(a-in)}-1}{2\pi(a-in)}$ .

@+

coucou

Je n'ai pas calculé $a_n$ et $b_n$ à l'aide de $c_n$ pourtant.
Pour $c_n$ je trouve bien ce que vous avez en effet je m'étais trompé à la fin.
Pour $a_n$ et $b_n$ j'ai procédé de cette manière:
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} cos(nt)dt}$
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{at} sin(nt)dt}$
Pour $a_n$ je suis tombé sur un système de la forme $1πi=1π(a+bi)\frac{1}{\pi}i=\frac{1}{\pi}(a+bi)$ avec $i=∫02πeatcos(nt)dti=\int_{0}^{2\pi} e^{at}cos(nt)dt$

Pour la somme je ne vois pas comment calculer à partir de $c_n$ .
Peux-tu me dire comment faire? stp.
Merci.

Salut.

C'est exactement pareil que pour les $a_n$ vu que $a_n$ = $c_n$ + $c_{-n}$ .

Ce qui serait bien c'est de faire le calcul pour trouver ton erreur dans les $a_n$ . Sinon vérifie ton calcul des $a_n$ , une faute a pu s'y glisser.

@+

Salut.

Voici mon calcul de an.
$an=1π∫02πeatcos(nt)dta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}$
$an=1π([sin(nt)neat]−∫02πaeatsin(nt)ndt)a_n=\frac{1}{\pi}([\frac{sin(nt)}{n}e^{at}]-\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{sin(nt)}{n}dt)}$
$an=1π(−an[cos(nt)neat]−an∫02πaeatcos(nt)ndt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}[\frac{cos(nt)}{n}e^{at}]-\frac{a}{n}\int_{0}^{2\pi}{ae^{at}\frac{cos(nt)}{n}dt)}$
$an=1π(−an(−1ne2api+1n)−a2n2∫02πeatcos(nt)dt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{-a}{n}(\frac{-1}{n}e^{2api}+\frac{1}{n})-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}$
$an=1π(a2n2(e2api−1)−a2n2∫02πeatcos(nt)dt)a_n=\frac{1}{\pi}(\frac{a^{2}}{n^{2}}(e^{2api}-1)-\frac{a^{2}}{n^{2}}\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt)}$
Je pose $i=∫02πeatcos(nt)dti=\int_{0}^{2\pi}{e^{at}cos(nt)dt}$
On a donc I=a+bI
$i=a1−bi=\frac{a}{1-b}$
Je trouve $i=a(e2api−1)n2+a2i=\frac{a(e^{2api}-1)}{n^{2}+a^{2}}$
Enfin $a_n=\frac{a(e^{2api}-1)}{pi(n^{2}+a^{2})$

Salut.

Erreur de signe à la troisième ligne. Devant le crochet c'est un + et non un -. Le premier était devant l'intégrale en ligne 2 et le second est venu après primitivation du sinus dans le crochet.

Si tu préfères, tu as oublié un signe - dans le crochet en fait.

@+

ok c'est un oubli mais pour la suite j'ai utilisé le moins.
Par contre je pense qu'il y a bien un moins pour $−an\frac{-a}{n}$ car on calcule - intégrale ... ou bien je me trompe?

Salut.

Effectivement le signe - est revenu, j'aurai dû lire la suite, désolé.

Dans ce cas 5ème ligne, pourquoi un a² devant la parenthèse ? Devant l'intégrale je suis d'accord, mais le crochet n'a pas fourni de a en facteur supplémentaire.

@+

Salut.

Pas grave
C'est exacte sur ma feuille il n'y as pas de a² encore une faute de frappe.
Normalement pour la suite il ne devrait pas apparître.
Oui je ne l'ai pas mis après.

Salut.

Bon je te fais confiance pour les $a_n$ dans ce cas. J'ai calculé avec tes formules la somme de la série et je n'ai pas du tout trouvé comme toi, donc l'erreur est là.

Pour x=0 on peut donc écrire d'après le théorème de Dirichlet (les hypothèses sont vérifiables) :

$f(0+)+f(0−)2=a02+∑n=1+∞an\displaystyle \frac{f(0^+)+f(0-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$

En remplaçant par tes expressions j'en arrive à :

$e2πa+12=e2πa−14π+aπ(e2πa−1)∑n=1+∞1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$

Puis comme a≠0 on peut diviser par exp(2 $p i$ a)-1 :

$e2πa+12(e2πa−1)=14π+aπ∑n=1+∞1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$

On termine le calcul simplement ce qui fournit :

$∑n=1+∞1n2+a2=2π(e2πa+1)−(e2πa−1)4a(e2πa−1)=(2π−1)e2πa+(2π+1)4a(e2πa−1)\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi-1)e^{2\pi a}+(2\pi+1)}{4a(e^{2\pi a}-1)}$

Ce qui ne ressemble pas à ton "(exp(2pia)(4a-1)+4a -1)/(a4²(exp(2pia)-1)".

Vérifie que je ne me suis pas non plus trompé quand même. :razz:

@+

Salut.

Ton calcul est juste je me suis bien trompé.
Je me suis trompé à la fin en mettant le tout sous le même dénominateur.
Merci.
Par contre pour a_0 je n'avais pas tout à fait sa non plus.
J'ai $e2pia−12pia\frac{e^{2pia}-1}{2pia}$
Du coup je n'ai pas tout à fait la même chose mais presque. ;=

Salut.

Zut ! J'ai bien mal recopié ta formule : j'ai oublié le a au dénominateur. J'ai donc faux.

Je recommence.

$e2πa+12=e2πa−14πa+aπ(e2πa−1)∑n=1+∞1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2} = \frac{e^{2\pi a}-1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}(e^{2\pi a}-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$

$e2πa+12(e2πa−1)=14πa+aπ∑n=1+∞1n2+a2\displaystyle \frac{e^{2\pi a}+1}{2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{1}{4\pi a} + \frac{a}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2}$

$∑n=1+∞1n2+a2=2πa(e2πa+1)−(e2πa−1)4a2(e2πa−1)=(2πa−1)e2πa+(2πa+1)4a2(e2πa−1)\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{2\pi a(e^{2\pi a}+1)-(e^{2\pi a}-1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)} = \frac{(2\pi a-1)e^{2\pi a}+(2\pi a+1)}{4a^2(e^{2\pi a}-1)}$

Pfiou !

@+

Salut.
J'ai pareil cette fois ouf lol.
Merci de m'avoir aider.