convergence integrale

[chounette]

Bonjour,

Je dois prouver la convergence des ces 2 integrales :∫$cos(x^2$)dx entre 0 et ∞ et celle de $sin(x^2$), mais je ne vois pas comment faire. Merci beaucoup pour votre aide!

( dsl je ne sais pas me servir du langage LaTex :frowning2: )

[Jeet-chris]

Salut.

Effectue une intégration par par partie de :

$i(x)={\int }_0^{x}cos(x^2)dx={\int }_0^x\frac{1}{2x}\times 2xcos(x^2)dx$
Ensuite tu vas pouvoir montrer l'intégrabilité par comparaison à une autre intégrale.

@+

[chounette]

J'obtiens I(x)=int_0^∞ [sin(x²)]/2x dx + int_0^∞ 1/2x²×sin(x²) dx mais après..... :frowning2:

[Jeet-chris]

Salut.

J'ai dit une intégration par parties, donc tu ne devrais pas te retrouver avec 2 intégrales, mais avec un crochet et une intégrale.

Puis il suffit de calculer ce qu'il y a dans le crochet et de faire tendre x vers l'inifini d'une part, puis de majorer l'intégrale par quelque chose d'intégrable.

D'ailleurs au lieu d'utiliser des x on va utiliser des t pour qu'il n'y ait pas de confusions.

$i(t)={\int }_0^t\frac{1}{2x}\times 2xcos(x^2)dx$
Donc ce sera t qui tendra vers l'infini.

@+

[chounette]

olala oui desolé, je suis fatiguée moi!!!

bon alors j'obtiens [sin(t²)/2t] +1/2 ∫_0^∞ (sin(t²)/t² dx

sin(t²)→1 quand t→∞ d'ou le crochet tend vers 0 . Pour le reste de l'integrale, je ne peux pas dire que sin(t²)/t²→1 quand t→∞, ce qui donnerai que l'integrale tend vers l'∞?
merci beaucoup

[Jeet-chris]

Salut.

Euh... non. sin(t²) n'a pas de limite en +∞, elle y oscille encore pas mal. ^^

En revanche tu pourrais dire par exemple que |sin(t²)|≤1.

Cela implique :

• Pour le crochet tu peux déterminer la limite en +∞ par encadrement (ou théorème des gendarmes, c'est pareil).

• Pour l'intégrale, qu'en +∞, vu que t→1/t² est intégrable sur [1;+∞[ ...

@+

[chounette]

je suis un peu perdue la... je ne vois pas bien ce qu'il faut faire :frowning2:

[Jeet-chris]

Salut.

Récapitulons alors.

Déjà ce que l'on aimerait savoir, c'est si I admet une limite quand t tend vers +∞. D'accord ?

Or :

$i(t)={\int }_0^t\frac{1}{2x}\times 2xcos(x^2)dx={\left[\frac{sin(x^2)}{2x}\right]}_0^t-{\int }_0^t\frac{sin(x^2)}{2x^2}dx$

Donc :

$i(t)=\frac{sin(t^2)}{2t}-{\int }_0^t\frac{sin(x^2)}{2x^2}dx$

Normalement tu en es là.

Comme dis au début, on aimerait savoir si I possède une limite en +∞. Pour cela, on peut regarder séparément les deux termes de l'expression.

A partir de là, en remarquant que |sin(t²)|≤1, je te demande de me démontrer la convergence de ces deux termes.

@+

[chounette]

oki alorsd je dirai sans grande conviction que puisque |sin(t²)|≤1, [sin(t²)/2t] converge et que ∫_0^t (sin(x²)/x² dx converge en comparaison avec 1/x² qui converge....?

[Jeet-chris]

Salut.

Et pourtant c'est bien ça.

Comme 0≤|sin(t²)/(2t)|≤1/(2t) et que 1/(2t) tend vers 0 en +∞, par encadrement, sin(t²)/(2t) a une limite en +∞ et cette limite est 0.

Par contre fait bien attention à l'intégrale ! Tu ne peux pas dire que l'intégrale de 1/x² converge en 0 !!! Donc on va scinder l'intégrale.

Sur le segment [0;1], sin(x²)/x² est continue, donc y est intégrable.

Puis sur [1;+∞[, 0≤|sin(t²)/(2t²)|≤1/(2t²). Or sur ce semi-ouvert 1/(2t²) est intégrable. Par conséquent sin(t²)/(2t²) y est intégrable en valeur absolue, donc intégrable par définition.

@+

[chounette]

oki merci beaucoup!!!!!!!!

[chounette]

pour la convergence de l'integrale de sin(x²) je peux utiliser la même methode? merci beaucoup!!

[Jeet-chris]

Salut.

Je pense que oui, essaie.

@+