équation complexe du second degré

[edouard]

Bonjour,

Je cherche un exercice à propos de l'équation complexe (E) suivante:
z²-2pz+1=0, avec p un nombre complexe.
Cette équation admet deux racines distinctes a et b qui vérifient le système

a+b=2p
ab=1

Dans la partie de l'exercice qui me pose problème, on suppose que le module de p vaut 1, et on le note sous la forme p=ex^{iφ}, avec φ compris entre 0 et π.

On a montré que les racines de (E) sont:

a=e^{iφ}-\sqrt{2sinφ}*e^{i(φ/2+π/4)} et
b=e^{iφ}+\sqrt{2sinφ}*e^{i(φ/2+π/4)}

Il s'agit alors de montrer que
a - i=e^{i(φ/2-π/4)}(2cos(\frac{φ}{2}+\frac{π}{4})-i\sqrt{2sinφ}) et
b - i=e^{i(φ/2-π/4)}(2cos(\frac{φ}{2}+\frac{π}{4})+i\sqrt{2sinφ}).

Je n'arrive pas à montrer ces égalités. Il faut de plus déterminer sous une forme analogue a+i et en extraire l'argument, mais je ne vois même pas comment prouver les égalités avec a-i et b-i. Pouvez-vous me proposer une piste de réflexion susceptible d'aboutir?

Merci.

[Zorro]

Bonjour,

Si tu veux utiliser les expressions écrites en LaTeX, il faut que tu les encadres avec les balises [ tex] [ /tex] sans les espaces entre [ et le reste ...

Pour écrire ${\text{ e}}^{i\varphi }$ le code est [ tex] \text{e}^{i\phi}[ /tex]

Pour aprendre, utilise le
Visualisateur LaTeXdont le lien est dans le cadre de droite...

Pour le moment ce que tu as écrit est assez incompréhensible...