Equa. diff. linéaire : problème de Cauchy



  • Bonjour voici un problème de Cauchy intéressant que j'ai à résoudre
    n∈mathbbZmathbb{Z} x∈I
    equa-diff : y' + xy = xnx^n [1]
    conditions intiales : y(1) = 1

    Voilà mon travail :
    x²/2 est une primitive de x sur I

    [1] <=> y' $e^{x²/2}$ + $xye^{x²/2}$ = xx^n$e^{x²/2}$

    Or,
    $D[ye^{x²/2}$]=y' $e^{x²/2}$ + $xye^{x²/2}$ (1er membre)
    ( D désigne dérivée p/r à x)
    <=> $D[ye^{x²/2}$] = xx^n$e^{x²/2}$

    On note P(x,n) une primitive de xx^n$e^{x²/2}$

    $D[ye^{x²/2}$] = D [ P(x,n) ]
    <=> ∃ λ ∈ mathbbRmathbb{R} tel que : $ye^{x²/2}$ = P(x,n) + λ
    donc y(x) = P(x,$n)e^{-x²/2}$ + λ$e^{-x²/2}$

    Voilà l'expression de y(x)
    maintenant on peu trouver une valeur de λ qui satisfait les conditions initiales :
    en effet,
    y(1) = 1 <=> 1 = P(1,n)e1/2n)e^{-1/2} + λe1/2e^{1/2}
    <=> λ = e1/2e^{1/2} - P(1,n)

    Voilà ça s'etait pour ce qui est fait, vous avez vu ? quasiment presque tout enfin il manque un petit détail : P(x,n)
    En effet il faut maintenant trouver une primitive de :

    <strong>x<strong>x^n$e^{x²/2}$
    selon les valeurs de n bien entendu ... 😁

    C'est tout ce qu'il me manque pour finir ce problème ...

    Merci aux courageux mathématiciens qui se pencheront sur mon problème ^^



  • Quel imbécile, je me reposais sur mes loriers alors que je peux continuer à travailler.
    Ce post m'a permis d'ecrire exe^x et non pas exp(x)
    et ainsi remarquer :

    xx^n$e^{x²/2}$ = $e^{nln(x) + x²/2}$
    Bon ben la primitive va de soi :

    p(x,n)=e(nln(x)+x22)nx+xp(x,n) = \frac{e^(nln(x) + \frac{x^2}{2})}{ \frac{n}{x} + x }
    par contre l'accé à cette primitive est strictement reservée aux x > 0
    Bon allez je vais aller continuer tout ça



  • Après calculs je trouve donc :

    ∀x ∈ $$mathbb{R}$*^+$ ; ∀n ∈ mathbbZmathbb{Z} \ {-1 ; -x² (lorsque celui ci ∈mathbbZmathbb{Z})}
    y(x)=exp(nln(x))nx+x+11n+1y(x) = \frac{exp( nln(x) )}{ \frac{n}{x} + x} + 1 - \frac{1}{n+1}

    Voilà je n'ose pas m'aventurer dans des x de $$mathbb{R}$^-$ et des n quelconques

    Bel exercice et beau monologue ^^



  • Tout compte fait erreur erreur dans la primitive de xx^n$e^{x²/2}$

    à suivre...


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.