Démonstration de la limite d'un produit



  • Bonjour,

    Voilà, j'ai deux fonctions dont je connais la limite en +∞:
    lim f(x)= +∞
    x→+∞
    lim g(x)= -∞
    x→+∞

    donc
    lim [f(x)*g(x)]=-∞
    x→+∞

    Mais je ne sais pas comment démontrer ce résultat pourtant évident.
    J'ai essayé d'utiliser les définition mais je suis vraiment bloquée.

    lim f(x)= +∞
    x→+∞
    donc ∀A∈ℜ, ∃ B∈ℜ tel que x∈DfD_f , x>B ⇒f(x)>A

    lim g(x)= -∞
    x→+∞
    donc ∀C∈ℜ, ∃ D∈ℜ tel que x∈DgD_g , x>D ⇒ g(x)≤C

    Je pense qu'il faut poser E=max (B;D), mais après je ne vois pas comment montrer que :
    ∀C∈ℜ, ∃ E=max (B;D)∈ℜ tel que x∈DfgD_{fg} , x>E ⇒ fg(x) ≤C

    Je vous remercie par avance


  • Modérateurs

    Salut.

    J'ai peut-être une astuce, tu me dis si c'est correct. Je te donne l'idée :

    limx+f(x)g(x)=limx+f(x)(g(x))=(+)=\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x) = - \lim_{x \to +\infty} f(x)(-g(x)) = -(+\infty) = -\infty

    A partir de là il faut savoir démontrer les limites "-1×+∞" et "+∞×+∞". 😁

    J'aime bien ne pas me prendre la tête. :razz:

    @+



  • Moi je ferais :
    ∃x0 tq ∀x>x0, ∀D<0, g(x) inférieur à D.
    ∃x1 tq ∀x>x1, ∀C>0, f(x)>C.

    D'où :

    ∃x2=max(x0,x1) tq ∀x>x2, ∀C>0, ∀D<0, f(x)g(x) inférieur à CD.

    ⇔∃x2 tq ∀x>x2, ∀E<0, f(x)*g(x) inférieur à E.

    ⇔lim [f(x)*g(x)]=-∞


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