Montrer qu'une droite est bissectrice intérieure d'un angle



  • J'ai des difficultés à faire cet exercice, j'aimerai un peu d'aide, merci.

    Soit C le cercle circonscrit à un triangle ABC non apalati. Sur C on place les points M,N,P de façon que A,P,B,M,C,N,A ce succèdent dans cet ordre sur le cercle et que AP=BP, MB=MC, NC=NA. On note I=[AB]∩[NP] et J=[BC]∩[NM].

    1. Montrer que la droite (NP) est bissectrice intérieure de l'angle ANB.

    2. Montrer que IA/IB=NA/NB et que JC/JB=NC/NB

    3. En déduite que la droite (IJ° est parallèle à la droite (AC).

    Voilà pour la question 1 j'ai commencé avec la cocyclicité mais je bloque un peu et je suis pas trop sur de ce que j'ai fait.
    Voici ce que j'ai fait:
    (A,N,B,P) sont cocycliques car ils sont sur C.

    donc on a (na,nb)=(pa,pb)[π](\vec{na},\vec{nb})=(\vec{pa},\vec{pb})[\pi]

    (na,nb)=(pn+na,pn+nb)[π](\vec{na},\vec{nb})=(\vec{pn}+\vec{na},\vec{pn}+\vec{nb})[\pi]

    (je ne suis pas sur d'avoir le droit de faire ça)

    Or pn+na=pn+nb\vec{pn}+\vec{na}=\vec{pn}+\vec{nb}

    donc

    (na,nb)=2(pn,na) (na,nb)=2(an,ap)(\vec{na},\vec{nb})=2(\vec{pn},\vec{na}) \ (\vec{na},\vec{nb})=2(\vec{an},\vec{ap})

    Voilà, merci de bien vouloir m'aider.



  • salut
    je crois qu'avant de rédiger il faut d'abord bien comprendre la figure.
    1-par construction les arcs PA et PB sont égaux donc les angles inscrits qui les interceptent sont égaux..
    2- c'est une propriété classique de la bissectrice en principe vue dans le cours.
    3- il suffit d'égaler les rapports égaux ...je laisse chercher.

    ensuite on rédige ...

    je suis curieux de savoir à quel niveau du supérieur cet exo est donné ...
    @+



  • ok donc on a (NA,NP)=(BA,BP) et (AP,AB)=(NP,NB) si j'ai bien compris.

    Sinon je suis en licence de math et on a ça en UE culture géométrie ça fait longtemps que j'en ai pas fait et moi et la géométrie ça fait 2.



  • C'est exact.on peut même écrire tout de suite (NA,NP)=(NP,NB) et donc...
    .
    merci de la réponse. il n'y avait pas de malice dans ma question, simplement les programmes évoluant sans arrêt,on ne sait plus guère ... tu verras la géométrie c'est passionnant.

    bonne chance
    @+



  • et donc c'est bon on a (NA,NB)=2(NA,NP) donc NP est bien la bissectrice intérieur de ANB.
    Pour la question 2 je ne vois pas quoi utiliser pour montrer les égalités des rapports :rolling_eyes:



  • pour la 2 c'est un th de cours:les segments déterminés par la bissectrice d'un angle du triangle sur le côté opposé sont proportionnels aux côtés:cherche la démo sur internet... c'est du classique
    @+



  • J'ai pas trouvé grand chose sur internet j'ai trouvé http://www.csaffluents.qc.ca/wjbm/matieres/oaim52/536a/Ttriangles.html
    mais je n'y comprend pas grand chose.
    Sinon je suis ok pour le premier rapport d'après le théorème que tu m'as énoncé par contre le deuxième je ne vois pas trop.
    Ah à moins que NJ soit la bissectrice de NBC mais je n'en suis pas convaincu.



  • bonjour
    NJ qui est aussi NM est la biss de NBC puisque M est le milieu de l'arc BC.je vais te chercher un truc sur internet mais je ne veux pas surcharger le forum.je vais voir.
    @+



  • j'ai cherché bien loin ce qui est tout près...

    propriétés bissectrice.
    un exposé impecc.
    @+

    modif : lien rendu cliquable



  • super merci, sinon pour la dernière question je ne vois pas trop comment on en déduit que (IJ) est parallèle à (AC)



  • tu ne cherches pas assez... on utilise les 2 égalités
    IA/IB=NA/NB
    JC/JB=NC/NB d'accord ?
    or NA=NC comme cordes sous-tendant des arcs égaux.
    donc
    IA/IB=JC/JB
    et la réciproque de Thalès permet de conclure.
    @+



  • A ok merci, merci beaucoup.
    @+


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