espace affine



  • Bonsoir,

    Je dois démontrer le théorème de Ceva: Soient ABC un triangle, A' appartient à (BC), C' à (AB) et B' à (CA). Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes si et seulement si

    abac.bcba.cacb=1\frac{a'b}{a'c} . \frac{b'c}{b'a} . \frac{c'a}{c'b} = -1

    où A'B, A'C, B'C, B'A, C'A et C'B sont des mesures algébriques.

    On considère l'espace affine euclidien A(R^3) rapport à un repère (O,i,j,k) noté Oxyz.

    Je ne vois pas du tout comment procéder, j'aimerai bien un peu d'aide svp.
    Merci.

    Quelqu'un m'a dit de procéder de la manière suivante:

    On peut prendre par exemple le repère affine (A, AB (vecteur), AC (vecteur) )

    1. Calcul l'équation de la droite (BC)
    2. Calcul des coordonnée de A', B', et C' en utilisant un paramètre
    3. Calcul A'B/A'C , B'C/BA et C'A/C'B
    4. Trouver les équation des droite (AA'), (BB') et (CC').
      Calcul du déterminant pour que ces trois droites soit concourrantes et on doit trouver en théorie le résultat

    Dans le repère (A,AB,AC)
    B a pour coordonnées ( 1, 0)
    C a pour coordonnées (0,1)
    La droite (BC) a donc pour équation: x + y = 1

    A' =( a' , 1-a' )
    B' = ( 0 , b' )
    C' = ( c' , 0 )

    pour les rapports je trouve:

    A'B/A'C=a'-1/a'
    B'C/B'A=1-b'/b'
    C'A/C'B=c'/1-c'

    est-ce que c'est correcte?

    pour la suite j'ai trouvé:

    (AA'): x(1-a)-ay=0
    (BB'): bx+y-b=0
    (CC'): x+cy-c=0

    je bloque un peu pour le déterminant

    |1-a' -a' 0|
    |b' 1 -b'| = 0
    |1 c' c'|

    je trouve c'(1+b')-a'(c'-b')=0
    et après je ne sais pas quoi faire.

    Quelqu'un peut m'aider?
    Merci.



  • salut
    la méthode exposée est peut être bonne mais je serais tenté de faire autrement.
    1-poser par exemple AA'/BB'= p id pour les 2 autres rapports,= q et = r.
    2- chercher les coordonnées des points A' B' C' en fonction de p,q,r.
    3- trouver les équations de droites .
    ensuite on cherche l'intersection de deux d'entre elles on écrit que la 3 ème passe par ce point.on obtient bien le théorème.
    si besoin de plus de détails ou peu clair ne pas hésiter.
    @+

    ps : je pense aussi que tu trompes qd tu écris A'B/A'C=(a'-1)/a' de plus l'équation de BB' est bizarre celle de CC' également.



  • Voici ce que je trouve

    Je pose p = A’B/A’C , q = B’C/B’A , r = C’A/C’B
    Je trouve p = (a’-1)/a’ , q = ( b’-1)/b’ , r = c’/(c’-1)

    a' = 1/(1-p)
    b'=1/(1-q)
    c'=q/(q+1)

    (AA’) (1-a’)x – a’y = 0
    (BB’) b’x + y – b’ = 0
    (CC’) x +c’y –c’ = 0



  • re
    garde p,q,r
    tu trouves (à une interversion AB et AC près j'ai mis B en (0,1))
    x+py=0
    (1-q)x+y=1
    x+(r-1)y/r=1
    on peut écrire
    (1-q)x+y=x+(r-1)y/r
    ce qui donne
    qx=y/r
    on remplace y par -x/p
    et on trouve pqr=-1
    ouf!
    c'est très lourd de faire ça par l'analytique la méthode naturelle utilise les coordonnées barycentriques.
    @+



  • Ouf, merci j'ai trouvé, oui c'est pas évident.
    Merci de m'avoir aidé.


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