Fonctions hyperboliques réciproques

[nico76]

Bonjour, j'ai un petit soucis sur un exercice sur ces fonctions :
Exprimer argsh, argch et argth en fonction de ln.
En fait j'ai pensé que comme argsh(par exemple) est la fonction réciproque de sh, et que ln est la fonction réciproque de exp, on pouvait peut être écrire :
sh(x) = (exp x - exp(-x) )/2
Donc argsh = (ln x - ln (-x) ) /2

Mais bon, ca me parrait trop facile pour être vrai, d'autant plus quand je m'aperçois à l'instant du ln(-x) qui rend impossible le truc xd.

Si quelqu'un peut m'apporter son aide, merci d'avance !

[Zauctore]

Salut.

En effet ce n'est pas si simple. Par exemple, voici comment procéder avec argsh

$y=\text{argsh}(x)$
signifie que
$x=\text{sh}(y)$
c'est-à-dire
$x=\frac{{\text{e}}^y-{\text{e}}^{-y}}{2}$
d'où
${\text{e}}^{-y}-{\text{e}}^y+2x=0$
soit
$1-{\text{e}}^{2y}+2x{\text{e}}^y=0$
qui est une équation du second degré en ${\text{e}}^y$ que tu peux résoudre.

Tu en déduis ainsi l'expression de ${\text{e}}^y$ qui est positive, en fonction de $x$ puis tu obtiens $y$.

C'est de la même veine pour argch et pour argth. Bon courage !

[nico76]

Je sais pas si je fais une erreur ou pas mais quand je résouds l'équation du second degré, je trouve deux racines :
$e^y$ = x+√(x²+1) et $e^y$ =x - √(x²+1)

Je comprends pas bien comment m'en sortir.. :frowning2:

[Zauctore]

c'est exact, mais n'oublie pas qu'une exponentielle est toujours positive ; tu sais donc quelle est "la bonne" solution pour exp(y) !

[jawan]

aide moi stp zauctore

[Zauctore]

rha tu as ${\text{e}}^y=$ la solution positive parmi les deux que tu as données.

ensuite un coup de ln et le tour est joué.