Calculer les limites d'une fonction trigonométrique en 0 et π

[BaKha]

Bonjour,

J'ai à calculer en 0 et en π les limites de : (1-cosx)/(sin(sinx)

Je ne trouve que des formes indéterminées...

[Zauctore]

Salut

Je dirais volontiers par exemple

$\begin{align} \lim_{x \to 0} \ \frac{1 - \cos x}{\sin( \sin x)} &= \lim_{x \to 0} \ \frac{1 - \cos x}{\sin x}\times\frac{\sin x}{\sin( \sin x)} \end{align}$

Or pour x proche de 0, on a

$\sin x\simeq x$ et $1-\cos x\simeq \frac{x^2}{2}$

Donc la limite cherchée est la même que

${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}\times {\lim }_{u\to 0}\frac{u}{\sin u}$

Donc... 0.

Remarque : ah oui ! on n'écrit pas ça : $1-\cos x\simeq \frac{x^2}{2}$, hein, mais plutôt qqch avec un o(x)... hé bien moi je l'écris quand même.