Calculer les limites d'une fonction trigonométrique en 0 et π



  • Bonjour,

    J'ai à calculer en 0 et en π les limites de : (1-cosx)/(sin(sinx)

    Je ne trouve que des formes indéterminées...



  • Salut

    Je dirais volontiers par exemple

    $\begin{align} \lim_{x \to 0} \ \frac{1 - \cos x}{\sin( \sin x)} &= \lim_{x \to 0} \ \frac{1 - \cos x}{\sin x}\times\frac{\sin x}{\sin( \sin x)} \end{align}$

    Or pour x proche de 0, on a

    sin⁡x≃x\sin x \simeq x \quadsinxx et 1−cos⁡x≃x22\quad 1 - \cos x \simeq \frac{x^2}{2}1cosx2x2

    Donc la limite cherchée est la même que

    lim⁡x→0 x22x × lim⁡u→0 usin⁡u\lim_{x \to 0} \ \frac{x^2}{2x}\ \times \ \lim_{u \to 0} \ \frac{u}{\sin u}limx0 2xx2 × limu0 sinuu

    Donc... 0.

    Remarque : ah oui ! on n'écrit pas ça : 1−cos⁡x≃x22\small 1 - \cos x \simeq \frac{x^2}{2}1cosx2x2, hein, mais plutôt qqch avec un o(x)... hé bien moi je l'écris quand même.


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