Etude d'une suite homographique

Bonjour.
Je suis en prépa et je prépare mes khôlles de maths.
J'ai trouvé un exercice typique mais deux qustions me posent encore problème.
Je vous donne mon énoncé et je vous dit mes réponses après.
merci d'avance
adher01

Soit f: $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ la fonction définie par
∀n ∈ $mathbb{R}$
$\frac{-x+1}{2x}$
1-etablir le tableau de variation de f. Etudier ses limites aux bornes de son domaine de définition.

2- Montrer que f possède exactement deux points fixes, que l'on notera α et β

3-Soit $(u$ _n $) < e m > n$ la suite définie par $u_0$ =2 et ∀n ∈ $mathbb{N}$ , $u$ {n+1} $f(u_n$ ).

a-Montrer que la suite $(U n) < e m > n$ est bien définie
b- montrer que la suite $(vn){n∈$mathbb{N}$}$ définie par
∀n ∈ $mathbb{N}$ , $\frac{un-alpha}{un-beta}$
est une suite géométrique.

c- en déduire une expression de vn en fonction de n , puis celle de un en fonction de n.

résolution:

1-Tout d'abord on calcule la dérivée : $\frac{-1}{(2x)^2}$ donc en étudiant cette fonction on observe que sur son domaine de définition c'est à dire [0;+∞[ que la fonctionest strictement décroissante.
on calcule donc les limites en $0_+$ et en +∞
on obtient en $0_+$ lim= +∞ et en +∞ lim = -1/2.

2-les points fixe sont en faite le résulta d'un delta.
d'ou α=-1 et β=1/2.

3- c'est la que tout se complique.
a- j'ai du mal à prouver que la suite est définie.
soit df = $mathbb{R}$ * on calcule $u_{0+1}$ =0 et $u_{1+1}$ =0 donc la suite n'est pas défénie pour ces deux valeurs. pourtant je croyait que toute fonctions homographiques étaient définies sur $mathbb{R}$ donc la je suis bloquée.

b- idem que a-

c- je pense que en fonction de la réponse de b- j'utiliserai le calcule d'une équation caractéristique puis la création de deux suites géométrique et enfin la création d'un système afin de trouver les expressions.

Si jamais vous arrivez à comprendre mes launes je reste à votre disposition.
merci d'avnce et bon week end .
adher01

salut taupine

1° une fonction homographique ne saurait en aucun cas être définie sur R comme tu le pensais, puisqu'il s'agit tout bonnement d'un "décalage" de x → 1/x.
et tu as $ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}$ non défini lorsque $x = - d / c$ .

2° montrer que la suite est bien définie revient ici à établir par réccurence que $u_n$ n'est jamais nul. en effet, il faut pouvoir lui appliquer la fonction f pour obtenir le terme suivant. tu procéderas par récurrence sans doute.

3° montrer que $v_n$ est géométrique est juste lourdement calculatoire tu pars de $v_{n+1}$ et tu remplaces... après tu calcules furieusement pour faire apparaître $v_n$ .

4° pour c) tu te serviras évidemment de b)

je te souhaite bien du courage - mais ça en vaut la peine !

rq : pour saisir les indice, le code latex est u_n ou u_{n+1} et pour les alpha, beta, c'est \alpha ou \beta

ah oui j'oubliais ! comme il est préférable d'avoir une idée de la raison de $v_n$ , je te suggère d'en calculer les premiers termes pour la déterminer ! mais attention, ensuite, il faut prouver qu'elle convient pour tout n.

Merci Zautore !! En plus de m'aider à résoudre mon exercice tu me motives!!! J'éspère que sa en vaut la peine parce que c'est vrai que entre le travail fourni en prépa et celui au lycée il y a un sacré décalage!! Mais bon si l'effort mérite une belle récompense sa en vaut peut être la,peine !!!

J'ai essayer de faire par récurence j'arriver à le démontrer mais a récurence me semble soupsonneuse. Je vous la montre:

Montrer que $U_n$ est bien définie revient à prouvre que ∀n $U_n$ ≠0.

Nommons Pn la proposition " $U_n$ ≠0 "
Au rang n=0 $U_0$ =2 donc P0 est vraie.

Supposons vrai au rang n , donc Pn vraie.
Supposons vrai au rang n+1 , donc Pn+1 vraie.

Montrons vrai au rang n+2.
$un+2=−un+1+12un+1u_{n+2} = \frac{-u_{n+1}+1}{2u_{n+1}}$
$un+2=(−un+2un+12unu_{n+2} = (\frac{-u_n+2u_n+1}{2u_n}$ ) $\frac{2u_n}{-2u_n-2})$

$u_{n+2} = -1/2$

Donc Pn+2 est vraie
Donc Pn+1 et Pn sont vraie.

Donc voila ma récurence. Est elle ,selon vous, valable?

adher01

re. (j'ai été long)

on reviendra plus tard sur cette question "la suite (u_n) est bien définie" si tu veux bien. en attendant, voici ce que j'ai rédigé au sujet de la partie calculatoire dont j'ai parlé au début.

grr : "qu'un
seulpoint fixe"

nb : oui, ça en vaut vraiment la peine !

Merci beaucoup!!!
Je crois que j'ai pas trop mal compris la technique.
Je vais la refaire deux, trois fois et se sera top.
Merci

oui : travaille d'abord avec ta suite homog avec des nombres partout (-x+1)/(2x), puis essaie de refaire les calculs en toute généralité, avec des a, b, c, et d.

on reparle plus tard du 1/

salut adher01
je suis pas revenu hier, mais tu nous donneras quand même des nouvelles de la question 3a) ?
ça peut être intéressant de compléter ce fil.
merci

≠Enfaite je me suis apercue que ce que je t'avais donné pour la 3-a était faux , j'avais fait une erreur de signe. $U_{n+2}$ ≠1/2.