BTSA statistiques covariance

[sloopi]

bonjour à tous.

mon professeur de maths nous a donner un DM a rendre pour lundi.

Exercice 1: en statistique, lorsqu'on étudie une série à deux variables (Xi; Yi), on est amené à calculer la covariance des deux variables X et Y. on la définit par :
cov (Xi;Yi) = 1/n*∑(Xi-moyenne de X)(Yi-moyenne de Y)

Montrer qu'également : cov_X;Y)=1/n∑XiYi- moyenne de Xmoyenne de Y

j'ai beau savoir qu'en remplaçant les Y par les X on obtient la variance, je n'arrive pas à trouver comment venir à bout de ce problème.

merci de votre aide

[Zauctore]

re.
je mets du LaTeX "pour faire joli"

départ :

$\ \text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i} (x_i - \overline{x})\times (y_i - \overline{y})$

arrivée :

$\text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \times y_i - \overline{x} \times \overline{y}$

c'est parce qu'en développant le produit de départ tu te retrouves avec des

$\frac{1}{n}\ \sum_{i}y_i \overline{x}$

et des

$\frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \overline{y}$

il faut que tu voies que ces deux quantités sont égales à $\small \overline{x}\overline{y}$

d'où une réduction des termes.

[sloopi]

j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :

$1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)$

seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe ....

[Zauctore]

sloopi
j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :
$1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)$
seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe ....

tu as oublié les sum c'est pourquoi il te reste des indices. tu as en réalité :

$\small 1/n \times \sum \left( xiyi - x_i \times \overline{y} - y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \left(\sum xiyi - \sum x_i \times \overline{y} - \sum y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \sum xiyi - 1/n \sum x_i \times \overline{y} - 1/n \sum y_i \times \overline{x} + 1/n \sum \overline{x}\times\overline{y}$

or les deux termes centraux sont égaux et le dernier terme est $\small n/n \sum \overline{x}\times\overline{y}$ d'où des simplifications.

rq : en LaTeX, la multiplication se code \times