BTSA statistiques covariance
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Ssloopi dernière édition par
bonjour à tous.
mon professeur de maths nous a donner un DM a rendre pour lundi.
Exercice 1: en statistique, lorsqu'on étudie une série à deux variables (Xi; Yi), on est amené à calculer la covariance des deux variables X et Y. on la définit par :
cov (Xi;Yi) = 1/n*∑(Xi-moyenne de X)(Yi-moyenne de Y)Montrer qu'également : cov_X;Y)=1/n∑XiYi- moyenne de Xmoyenne de Y
j'ai beau savoir qu'en remplaçant les Y par les X on obtient la variance, je n'arrive pas à trouver comment venir à bout de ce problème.
merci de votre aide
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Zauctore dernière édition par
re.
je mets du LaTeX "pour faire joli"départ :
cov(xi,;,yi)=1n ∑i(xi−x‾)×(yi−y‾)\ \text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i} (x_i - \overline{x})\times (y_i - \overline{y}) cov(xi,;,yi)=n1 ∑i(xi−x)×(yi−y)
arrivée :
cov(xi,;,yi)=1n ∑ixi×yi−x‾×y‾\text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \times y_i - \overline{x} \times \overline{y}cov(xi,;,yi)=n1 ∑ixi×yi−x×y
c'est parce qu'en développant le produit de départ tu te retrouves avec des
1n ∑iyix‾\frac{1}{n}\ \sum_{i}y_i \overline{x}n1 ∑iyix
et des
1n ∑ixiy‾\frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \overline{y}n1 ∑ixiy
il faut que tu voies que ces deux quantités sont égales à x‾y‾\small \overline{x}\overline{y}xy
d'où une réduction des termes.
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Ssloopi dernière édition par
j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :
1/n∗(xiyi−xi∗moyenney−yimoyennex+moyennexy)1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)1/n∗(xiyi−xi∗moyenney−yimoyennex+moyennexy)
seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe ....
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Zauctore dernière édition par
sloopi
j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :
1/n∗(xiyi−xi∗moyenney−yimoyennex+moyennexy)1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)1/n∗(xiyi−xi∗moyenney−yimoyennex+moyennexy)
seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe ....tu as oublié les sum c'est pourquoi il te reste des indices. tu as en réalité :
1/n×∑(xiyi−xi×y‾−yi×x‾+x‾×y‾) =1/n×(∑xiyi−∑xi×y‾−∑yi×x‾+x‾×y‾) =1/n×∑xiyi−1/n∑xi×y‾−1/n∑yi×x‾+1/n∑x‾×y‾\small 1/n \times \sum \left( xiyi - x_i \times \overline{y} - y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \left(\sum xiyi - \sum x_i \times \overline{y} - \sum y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \sum xiyi - 1/n \sum x_i \times \overline{y} - 1/n \sum y_i \times \overline{x} + 1/n \sum \overline{x}\times\overline{y}1/n×∑(xiyi−xi×y−yi×x+x×y) =1/n×(∑xiyi−∑xi×y−∑yi×x+x×y) =1/n×∑xiyi−1/n∑xi×y−1/n∑yi×x+1/n∑x×y
or les deux termes centraux sont égaux et le dernier terme est n/n∑x‾×y‾\small n/n \sum \overline{x}\times\overline{y}n/n∑x×y d'où des simplifications.
rq : en LaTeX, la multiplication se code \times