BTSA statistiques covariance



  • bonjour à tous.

    mon professeur de maths nous a donner un DM a rendre pour lundi.

    Exercice 1: en statistique, lorsqu'on étudie une série à deux variables (Xi; Yi), on est amené à calculer la covariance des deux variables X et Y. on la définit par :
    cov (Xi;Yi) = 1/n*∑(Xi-moyenne de X)(Yi-moyenne de Y)

    Montrer qu'également : cov_X;Y)=1/n∑XiYi- moyenne de Xmoyenne de Y

    j'ai beau savoir qu'en remplaçant les Y par les X on obtient la variance, je n'arrive pas à trouver comment venir à bout de ce problème.

    merci de votre aide



  • re.
    je mets du LaTeX "pour faire joli"

    départ :

     cov(xi,;,yi)=1n i(xix)×(yiy)\ \text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i} (x_i - \overline{x})\times (y_i - \overline{y})

    arrivée :

    cov(xi,;,yi)=1n ixi×yix×y\text{cov}(x_i,;,y_i) = \frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \times y_i - \overline{x} \times \overline{y}

    c'est parce qu'en développant le produit de départ tu te retrouves avec des

    1n iyix\frac{1}{n}\ \sum_{i}y_i \overline{x}

    et des

    1n ixiy\frac{1}{n}\ \sum_{i}x_i \overline{y}

    il faut que tu voies que ces deux quantités sont égales à xy\small \overline{x}\overline{y}

    d'où une réduction des termes.



  • j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :

    1/n(xiyiximoyenneyyimoyennex+moyennexy)1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)

    seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe .... 😕



  • sloopi
    j'ai développé et voilà ce que j'obtiens :
    1/n(xiyiximoyenneyyimoyennex+moyennexy)1/n * ( xiyi - xi*moyenney - yimoyennex + moyenne xy)
    seulement, je ne voit pas d'égalité et je ne crois pas avoir d'erreur de signe .... 😕

    tu as oublié les sum c'est pourquoi il te reste des indices. tu as en réalité :

    1/n×(xiyixi×yyi×x+x×y)   =1/n×(xiyixi×yyi×x+x×y)   =1/n×xiyi1/nxi×y1/nyi×x+1/nx×y\small 1/n \times \sum \left( xiyi - x_i \times \overline{y} - y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \left(\sum xiyi - \sum x_i \times \overline{y} - \sum y_i \times \overline{x} + \overline{x}\times\overline{y}\right) \ \ \ = 1/n \times \sum xiyi - 1/n \sum x_i \times \overline{y} - 1/n \sum y_i \times \overline{x} + 1/n \sum \overline{x}\times\overline{y}

    or les deux termes centraux sont égaux et le dernier terme est n/nx×y\small n/n \sum \overline{x}\times\overline{y} d'où des simplifications.

    rq : en LaTeX, la multiplication se code \times


 

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