Term ES spécialité exercice sur les Suites

Bonjour,
J'ai besoin d'aide ou de correction pour mes premières réponse de l'exercice suivant s'il-vous-plait. Merci d'avance

Dans une zone de marais on s'intéresse à la population de libellules.
On note $P_0$ la population initiale et $P_n$ la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l'évolution de $P_n$ par la relation:

(R) Pour tout entier naturel n, on a :
$P_{n+2}$ - $P_{n+1}$ = 1/2 $P_{n+1}$ $P_n$ )

On suppose que $P_0$ = 40 000 et $P_1$ =60 000.
On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence $P_n$ - $P_{n-1}$

Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année et la troisième année, puis en déduire $P_2$ et $P_3$ .
On considère les suites $U_n$ ) et $V_n$ ) définies pour tout entier naturel n par:
$U_n$ = $P_{n+1}$ - $P_n$ et $V_n$ = $P_{n+1}$ - 1/2 $P_n$

a) Prouver que la suite $U_n$ ) est géométrique. Présiser son premier terme. Exprimer $U_n$ en fonction de n.

b) En utilisant la relation (R), calculer $V_{n+1}$ - $V_n$
En déduire que, pour tout n, on a $V_n$ = $P_1$ - 1/2 $P_0$ .

Calculer $V_n$ .
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a $P_n$ = $2(V_n$ - $U_n$ ).
En déduire une expression de $P_n$ en fonction de n.

d) Montrer que la suite $P_n$ ) converge et calculer sa limite.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?

Voici mes premières réponses à cet exercice:

j'ai trouvé $P_1$ = 20 000
$P_2$ = 10 000
et $P_3$ = 5 000
a) je dois calculer $u_{n+1}$ c'est ça?
donc je trouve 1/2 $P_{n+1}$ - $P_n$ )
ainsi le premier terme est $P_{n+1}$ - $P_n$
et sa raison est 1/2
Après pour exprimer $U_n$ en fonction de n je dois utiliser la formule explicite qui est $u_0$ fois $q^n$
et je trouve $u_n$ = $P_{n+1}$ - $P_n$ ) fois $1/2)^n$
Ensuite je n'y arrive plus , mais je crois que mes réponses précédentes sont fausses

Bonjour,

Ton énoncé dit : On suppose que $P_0$ = 40 000 et $P_1$ =60 000.

Comment arrives tu à $P_1$ = 20 000 ??? $P_1$ n'est pas à calculer , c'est une donnée !

$P_{n+2 }$ - $P_{n+1}$ = 1/2 $P_{n+1}$ - $P_n$ )

donc $P_{n+2 }$ = $P_{n+1}$ + 1/2 $P_{n+1}$ - $P_n$ )

$P_2$ = $P_{0+2}$ = $P_{0+1}$ + 1/2 $P_{0+1}$ - $P_0$ ) = $P_1$ + 1/2 $P_1$ - $P_0$ )

en remplaçant $P_0$ par 40 000 et $P_1$ par 60 000 , tu devrais trouver $P_2$