Relation d'équivalence - bijection - surjection canonique

[libellule21]

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour un exo. j'ai réussi à montrer que R est une relation d'équivalence mais je bloque pour la suite de l'exo...

Dans C*, on considère la relation R définie par :
|z|z' = |z'|z

1/ Montrer que R est une relation d'équivalence et déterminer la classe cl(z) d'un élément z de C*.

On désigne par U l'ensemble {z ∈ C*; |z| = 1}, par f l'application z → $\frac{z}{|z|}$ de C* dans U et par s : C* → C*/R la surjection canonique.
2/ Montrer que l'application f est surjective et non injective.
3/ Montrer qu'il existe une unique application $f^{\sim }$ : C*/R → U telle que $f^{\sim }$ $\circ$s = f
4/ Montrer que $f^{\sim }$ est bijective

[mathtous]

cl(z) est l'ensemble des complexes de même argument que z ( modulo 2pi ).
U est l'ensemble des complexes de module 1
2) est évident
3) et 4 ) : il s'agit d'un théorème classique d'isomorphisme ( voir cours d'algèbre )