question concernant les matrices.


  • E

    Tout d'abord bonjour a tous!
    J'ai un petit devoir a remettre ce Vendredi et je bloque sur un numéro. Je me demandais donc si quelqu'un pouvais m'aider à le résoudre.

    Voici donc l'énoncé: Soient a, b, c, d des nombres réels et

    A(matrice) = ligne 1 --> a b ligne 2 --> c d
    B(matrice) = ligne 1 --> d -b ligne 2 --> -c a

    Montrez que A-1 (matrice inverse de A) existe ssi ad - bc diff/ 0 et que dans ce cas,

    A-1 = (1/(ad - bc)) * B

    Alors sa ressemble a cela et désolé pour les matrices je ne sais pas comment les représenter ici mais enfin c'est 2 matrices carré 2*2 je crois que vous allez comprendre. Et pour A-1 c'est que je ne sais pas comment mettre le "-1" en haut a droite du A. Alors je vous remerci d'avance et j'espère qu'un de vous pourra m'expliquer comment démontrer cela.

    A+


  • F

    il y a differente facons de calculer A^-1

    par la methode de la matrice compagnon

    soit ligne 1: a b separation 1 0
    ligne 2 : c d séparation 0 1

    en posant L2 donne -c/a.L1

    on obtient

    ligne 1 : a b separation 1 0
    ligne 2: 0 (da-cb)/a separation -c/a 1

    puis en posant L1 donne 1/a .L1

    ligne 1: 1 b/a séparation 1/a 0
    ligne 2: 0 (da-cb)/a separation -c/a 1

    en posant ensuite

    L2 donne a/(ad-bc).L2

    on obtient

    ligne 1: 1 b/a séparation 1/a 0
    ligne 2: 0 1 séparation -c(ad-bc) a/(ad-bc)

    et enfin en posant

    L1 donne (-b/a)L2+L1

    on obtient

    ligne 1: 1 0 séparation d/(ad-bc) -b(ad-bc)
    ligne 2: 0 1 séparation -c(ad-bc) a/(ad-bc)

    on voit bien ici que (ad-bc) n'a pas interet à etre nul pour calculer A-1

    si bien que A-1=1/(ad-bc).B


  • F

    ou alors en posant le faite que A admet une matrice inverse si il existe A' tel que AA'=I matrice identité et A' =A^-1

    en posant donc A'(x y)
    (z t)

    on a AA'=I soit

    ax+by=1
    ay+bt=0
    cx+dz=0
    cy+dt=1

    il y a autant d'inconnues que d'équations et le determinant de la matrice associée au systeme est D=(ad-bc) il doit etre non nul pour pouvoir poursuivre la résolution de ce systeme .


  • F

    ou encor en revenant à la matrice de depart ; les lignes (resp. les colonnes) ne doivent pas etre proportionnelles entres elles


  • N

    c'est une histoire de déterminant...tu en as entendu parlé?auquel cas je t'apporte(demain)une sorte de démonstration pour ta question!
    Biz
    Nel'


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