question concernant les matrices.

Tout d'abord bonjour a tous!
J'ai un petit devoir a remettre ce Vendredi et je bloque sur un numéro. Je me demandais donc si quelqu'un pouvais m'aider à le résoudre.

Voici donc l'énoncé: Soient a, b, c, d des nombres réels et

A(matrice) = ligne 1 --> a b ligne 2 --> c d
B(matrice) = ligne 1 --> d -b ligne 2 --> -c a

Montrez que A-1 (matrice inverse de A) existe ssi ad - bc diff/ 0 et que dans ce cas,

A-1 = (1/(ad - bc)) * B

Alors sa ressemble a cela et désolé pour les matrices je ne sais pas comment les représenter ici mais enfin c'est 2 matrices carré 2*2 je crois que vous allez comprendre. Et pour A-1 c'est que je ne sais pas comment mettre le "-1" en haut a droite du A. Alors je vous remerci d'avance et j'espère qu'un de vous pourra m'expliquer comment démontrer cela.

A+

il y a differente facons de calculer A^-1

par la methode de la matrice compagnon

soit ligne 1: a b separation 1 0
ligne 2 : c d séparation 0 1

en posant L2 donne -c/a.L1

on obtient

ligne 1 : a b separation 1 0
ligne 2: 0 (da-cb)/a separation -c/a 1

puis en posant L1 donne 1/a .L1

ligne 1: 1 b/a séparation 1/a 0
ligne 2: 0 (da-cb)/a separation -c/a 1

en posant ensuite

L2 donne a/(ad-bc).L2

on obtient

ligne 1: 1 b/a séparation 1/a 0
ligne 2: 0 1 séparation -c(ad-bc) a/(ad-bc)

et enfin en posant

L1 donne (-b/a)L2+L1

on obtient

ligne 1: 1 0 séparation d/(ad-bc) -b(ad-bc)
ligne 2: 0 1 séparation -c(ad-bc) a/(ad-bc)

on voit bien ici que (ad-bc) n'a pas interet à etre nul pour calculer A-1

si bien que A-1=1/(ad-bc).B

ou alors en posant le faite que A admet une matrice inverse si il existe A' tel que AA'=I matrice identité et A' =A^-1

en posant donc A'(x y)
(z t)

on a AA'=I soit

ax+by=1
ay+bt=0
cx+dz=0
cy+dt=1

il y a autant d'inconnues que d'équations et le determinant de la matrice associée au systeme est D=(ad-bc) il doit etre non nul pour pouvoir poursuivre la résolution de ce systeme .

ou encor en revenant à la matrice de depart ; les lignes (resp. les colonnes) ne doivent pas etre proportionnelles entres elles

c'est une histoire de déterminant...tu en as entendu parlé?auquel cas je t'apporte(demain)une sorte de démonstration pour ta question!
Biz
Nel'