Nombres Complexes : simplification de quotient et calcule d'imaginaire pure / réel

[TheFullMetal]

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour les exercices suivants , en particulier pour les deux derniers dont je ne suis pas sur de la méthode employée :

Exercices 1 :

Calculer :

a)$z=\frac{(1+i<em>tanx)}{(1-i</em>tanx)}$

en posant $tanx=\frac{(sinx)}{(cosx)}$

je trouve
z=(cos2x)+i(sin2x)

b)$z=\frac{(1+i<em>cotanx)}{(1-i</em>cotanx)}$

en posant $cotanx=\frac{(cosx)}{(sinx)}$

je trouve
z=(sin2x)+i(cos2x)

c) -$z=\frac{(1+i<em>tanx)}{(1-i</em>cotanx)}$

je trouve
z=i*tan

---

d) -$z=\frac{(1-i<em>cotanx)}{(1-i</em>cotanx)}$

je trouve
z=-i*tan

Exercices 2 :

Calculer pour tout x*

$re(\frac{1}{e^{ix}-1})$
Je pose $e^{ix}=cos(x)+i<em>sin(x)$
donc
$(\frac{1}{e^{ix}-1})$ = $(\frac{1}{cos(x)-1+i</em>sin(x)})$ =$(\frac{cos(x)-1-i<em>sin(x)}{(cos(x)-1{)}^2+sin{}^2(x)})$
=$(\frac{cos(x)-1-i</em>sin(x)}{(co{s}^2(x)+1-2cos(x)si{n}^2(x)})$
=$(\frac{cos(x)-1-i\ast sin(x)}{2-2cos(x)})$

et donc $re(\frac{1}{e^{ix}-1})$ = $(\frac{cos(x)-1}{2-2cos(x)})$

---

de même calculer
$im(\frac{1}{e^{ix}-1})$
je trouve $(\frac{-i\ast sin(x)}{2-2cos(x)})$

Exercice 3 :

Comment choisir z pour que Z=z²+2z-3 soit réel ET pour que z=(1-z)/(i+z) soit réel puis imaginaire pur.

Là je n'ai pas très bien compris alors j'ai cherché :

Z=z²+2z-3 Réel <=>Z=
Z
z²+2z-3=
z²+2z-3
(a+ib)²+2a+2ib-3=(a-ib)²+2a-2ib-3
a²-b²+2i*(ab)+2ib=a²+b²-2i(ab)-2ib
-2b²+4i(ab)+4i*b=0

z=(1-z)/(i+z)<=>Z=
Z
(1-z)/(i+z)=
(1-z)/
(i+z)
(1-z)/(i+z)=(1-z)/(-i+z)
(1-z)(-i+z)=(1-z)(i+z)
(1-(a+ib))(-i+(a-ib))=(1-(a-ib))(i+(a+ib))
-i+a-ib+ia-a²-b-b²=i+a+ib-ia-a²-b-b²
-2i-2ib-2ia=0

Et après je suis bloqué .
Alors voilà si quelqu'un peut m'aider je le remercie .

[Jeet-chris]

Salut.

Un peu longuets tous tes calculs.

Exercice 1 :

1.a) $z = \frac{1+i*\tan(x)}{1-i*\tan(x)} = \frac{1+i*\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1-i*\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{\cos(x)+i*\sin(x)}{\cos(x)-i*\sin(x)} = \frac{\e(ix)}{\e(-ix)} = \e(i2x)$

Donc j'ai le même résultat que toi.

1.b) Cette fois je factorise par i/sin(x) :

$z = \frac{1+icotan(x)}{1-icotan(x)} = \frac{\cos(x)-i*\sin(x)}{-\cos(x)-i*\sin(x)} = - \frac{\cos(x)-i*\sin(x)}{\cos(x)+i*\sin(x)} = -\e(-i2x)$

Je ne trouve pas pareil. :frowning2:

1.c) En continuant avec ma façon de faire, je trouve z = i*cotan(x), donc pas pareil.

1.d) Présenté comme ça j'aurais écrit tout de suite z=1, mais j'imagine qu'il faut un tan et un cotan.

Exercice 2 :

Autant dire que tu trouves pour la partie réelle -1/2.

Je te débute mon calcul :

$\frac{1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{-i\frac{x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}}}=\frac{e^{-i\frac{x}{2}}}{2i\sin (\frac{x}{2})}=\frac{\cos (\frac{x}{2})-i\sin (\frac{x}{2})}{2i\sin (\frac{x}{2})}=-\frac{1}{2}-i\frac{cotan(\frac{x}{2})}{2}$

Je te laisse comparer.

Exercice 3 :

Je n'ai pas très bien compris l'énoncé avec le "puis". Faut faire 2 calculs différents ?

Bref pour aller plus vite, par de Z, remplace z par a+ib, développe et regroupe parties réelles et imaginaires. A partir de là il faut soit annuler la partie réelle, soit annules la partie imaginaire selon les cas. C'est plus clair comme raisonnement et les calculs sont moins fouillis.

@+