produit vectoriel, produit mixte

bonjour, nous sommes arrivés à l'étude des produits vectoriels et mixtes. si j'ai bien compris il existe un unique vecteur u∧v orthogonal u et à v tel que tel que u,v,u∧v forme une base orthonormée directe mais je ne vois pas comment démontrer que la norme de u∧v est égale à l'aire du parallélogramme formé par u et v.
De même pour le produit mixte, [u,v,w] représente bien le volume du parallélépipède formé par u,v,w? peut-on dire que c'est l'analogue du déterminant dans le plan?
merci d'avance pour vos réponses

uΛv est orthogonal au plan formé par u et v ( s'ils ne sont pas colinéaires ) mais la base (u,v,uΛv) n'est pas orthonormée ( sinon tu ne demanderais pas quelle est la norme de uΛv ) .
|| uΛv || = | xy' - x'y | si u a por coordonnées (x,y,0) , v(x',y',0) et uΛv (0,0,xy'-x'y).
Place-toi dans le plan (u,v) où on peut toujours supposer que y = 0 .
Dans ce cas , | u | = |x| est la "base" du parallélogramme formé sur u et v , et |y'| est la "hauteur" ( fais un dessin ) .On obtient bien l'aire du dit parallélogramme .
Bon courage .