Logarithme népérien : étude de fonction

Bonjouuuur

Alors voilà je suis coincée depuis plusieurs heures maintenant sur la première partie d'un exercice

Fonction g définie sur ]1,+infini[

g(x) = ax + (b/lnx)

Je dois trouver les réels a et b sachant que la representation graphique de g coupe l'axe (0,i) au point E d'abscisse e donc E(e,0)
Ensuite c'est ici que j'ai du mal : la tangente a la courbe en E est parallèle a la droite d'équation y = 2x
Donc même coefficient directeur c'est a dire 2.
On sait alors
g (e) = 0
g ' (e) = 2

Dans la partie B de l'exercice il nous demande d'étudier une fonction f(x) = x-(e/lnx) donc je suppose qu'il s'agit de la même fonction, par conséquent on sait que :
a = 1
b = -e
Mais je n'arrive pas a aboutir a ce résultat.

J'ai résolu
g(e) = 0
ae + (b/lne) = 0
ae + (b/1) = 0
ae = -b
a = -(b/e)

et enfin j'ai fait la dérivée de g(x)
et je trouve a - (b/x)
g'(e) = 2
a - b/e = 2

Mais voilà après je n'arrive pas à faire la suite du système !!!
Merci d'avance pour votre aide !

Bonsoir,

g(x) = ax + (b/lnx)

alors, g'(x) = a - b / x (lnx)²

donc, g'(e) = a - b /e
or g'(e) = 2 donc a - b/e = 2 donc b = ea - 2e
or g(e) = 0 donc b = - ea
par suite, ea - 2e = -ea donc, a =1 et b = -e

D'ou la fontion g est definie par g(x) = x - e / ln x