Je cherche à modifier la formule des intérêts composés.



  • Salut,

    Je voulais trouver une formule qui me donne rapidement les intérêts que la banque me devrait si je déposais une somme "a" chaque année pendant "n" années avec un taux d'intérêt "b". Exemple: si je dépose 1000€ par an pendant 10 ans à raison de 4% par an.

    Je suis tombé sur la formule des "intérêts composés" qui me dit que ma valeur finale VV_f=a(1+b)n=a(1+b)^n ("a" étant dans ce cas-ci ma valeur initiale ViV_i) mais cette formule des "intérêts composés" tient en compte que je place par exemple 1000€ et que je les laisse 10 ans sans jamais y ajouter d'argent.

    Donc je veux modifier cette formule:

    1è année: VV_f=a(1+b)n=a(1+b)^n
    2è année: VV_f=a(1+b)=a(1+b)^n+a(1+b)n1+a(1+b)^{n-1}
    3è année: VV_f=a(1+b)=a(1+b)^n+a(1+b)+a(1+b)^{n-1}+a(1+b)n2+a(1+b)^{n-2}
    ...
    nè année: VV_f=a(1+b)=a(1+b)^n+a(1+b)n1+a(1+b)^{n-1}+...+a(1+b)nn+a(1+b)^{n-n}

    Si on remplace (1+b) par x on a pour la nème année:
    VV_f=a(x=a(x^n+xn1+x^{n-1}+...+xnn+x^{n-n})

    Et c'est exactement ça que je voudrais simplifier pour pouvoir calculer mon intérêt au bout de n années sans devoir calculer chaque terme. Je crois que dans ce cas on fait intervenir le signe ∑ (Je crois que c'est ce qui simplifie les additions infinies,... j'en sais rien ça fais plus de cinq ans que j'ai pas fait des maths, me rappelle pas de la terminologie et des notations)



  • En fait tu dois définir une suite qui pour chaque année te donne la quantité d'argent que tu as sur ton compte. On va l'appeler (un(u_n).
    Comme la première année tu déposes "a" on peut donc définir
    u1u_1=a

    Pour une année quelconque tu as l'argent que tu avais déjà l'année précédente plus les intérêts plus encore "a" que tu viens de rajouter donc tu as en fait, pour tout n∈n\mathbb{n} :
    uu_{n+1}=u=un+bun+bu_n+a
    uu
    {n+1}=(1+b)un=(1+b)u_n+a

    Mais ce que tu veux c'est une formule explicite, c'est à dire avoir unu_n directement sans besoin de tout calculer.

    Une suite définie comme ça, c'est ce qu'on appelle une suite arithmético-géométrique et on a pour tout n∈n\mathbb{n} :
    un=(1+b)n1(u1+ab)abu_n=(1+b)^{n-1}(u_1+\frac{a}{b})-\frac{a}{b}
    Dans ton cas, comme u1u_1=a :
    un=a(1+b)n1(1+1b)abu_n=a(1+b)^{n-1}(1+\frac{1}{b})-\frac{a}{b}

    Si tu veux la démonstration, je peux te la fournir mais elle n'est pas spécialement intéressante. Elle fait intervenir le symbole somme (qui est bien le sigma majuscule) ainsi qu'un résultat sur la somme des termes d'une suite géométrique, lequel je doute que tu connaisses.

    P.S : Dans mes calculs j'ai considéré que tu regardais l'argent que tu avais après avoir rajouter la somme "a" à ton compte pour l'année en cours. Si ce n'est pas le cas n'oublie pas d'enlever a au résultat.



  • Merci infiniment, pour ce qui est de la démonstration je n'ai effectivement jamais étudié les suites géométriques et donc ça va pas m'en faciliter la compréhension mais s'il le faut je veux bien essayer de les étudier (plus je m'éloigne de l'école secondaire, (plus les maths et la physique me manquent).
    Donc si ça te dérange pas ou peu, je veux bien la référence de cette demonstration (sur ce site ou un autre...).

    😄



  • http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithmético-géométrique

    Mais wikipédia n'est jamais vraiment très clair. C'est bien pour se rappeler une démo qu'on a oublié mais pour la découvrir de toute pièce...

    Le point le plus difficile de la démonstration c'est sans doute quand ça parle de la somme des termes d'une suite géométrique. Le résultat est utilisé directement sans explication.
    Je te conseil de chercher des informations complémentaire sur ce résultat.


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