espace vectoriel et coordonnées de polynômes



  • Coucou à ts,

    J'ai un petit pb pour faire cet exo, je désespère ....

    ENONCE :

    Soit F le sous ensemble de E défini par :
    F = {P appartient à R^3 [x] / P(1) = 0 }.

    1. Montrer directement que F est un sous espace vectoriel de R^3[x].

    2. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant l'applicatin f : R^3[x] dans R défini par
      f(P) = P(1), P appartient à R^3[x].

    3. On pose pour i appartenant à [0,2], Pi(x) = x^i(x-1). Montrer que la famille (P0, P1, P2) constitue une base de l'espace F.

    4. Déterminer les coordonnées dans cette base des pôlynomes suivant :
      Q(x) = x^3 - 5x² + 2x + 8
      R(x) = 2x^3 - 11x² - 26x + 35.

    Voila le super exo, si une personne veut m'aider, il est le bienvenu. 5cet exo me permettrait de prépare mes partiels).
    Merci beaucoup d'avance
    A+
    Aurélie



  • Pour le 1 tu montres que F qui est un partie de E est stable par ll'addition et la multiplication et qu'il est non vide car pP=1 appartient à F.
    Pour la deux tu remarques que Ker(f)=F Donc F est un sev par propriéts des noyaux.
    Pour la 3 c'est simple tu essaye de trouver :
    a,b,c tq aP0+bP1+cP2=0 et tu dois aboutir à a=b=c=0.
    La 4 c'est de la factorisation...

    Voilà, à ton service...

    Rimbe


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