j'ai besoin d'aide.... svp.....espaces vectoriels



  • Bonjour à tous,
    voilà j'ai quelques pb pour faire ces exos, alors si quelqu'un peut m'aider ce serait sympa...

    ENONCE 1 :

    Soit E un R-espace vectoriel.

    1. On considère un endomorphisme de E tel que s²=idE.
      a) Montrer que E=Ker(s-idE)+Ker(s+idE)
      Cette question je l'ai faite.
      b) Montrer que p=1/2(s+idE) est un projecteur de E.
      c) Montrer que Ker p = Ker(s+idE) et
      Im p = Ker(s-idE).

    2. On considère f:R^3 dans R^3 l'application définie par
      f((x, y, z))=(x, 2x+y-2z, 2x-z).

    a) Montrer que f est un ispmorphisme de R^3 tel que f² = idE.
    b) Déterminer une base des espaces Ker (f-idE) et Ker (f+idE).

    1. En assimilant R^3 et E(vecteur) déduire de ce qui précéde le fonctionnement géométrique de f. Que représente 1/2(f+idE) ? Un dessin sera le bienvenu.

    Voila, j'ai vraiment besoin d'aide car cet exo me permettrait de me préparer pour mon partiel.
    Merci beaucoup d'avance,
    A+
    Aurélie



  • bonjour,
    si c'est pas trop tard:

    1b)
    Pour montrer que c'est un projecteur, tout d'abord on remarque que c'est une application linéaire puis on calcule p°p(p est on remaque que c'est égale à p.
    Par conséquent p est un projecteur.

    Pour la 1c, c'est assez simple, on calcule lsimplement est àa va.

    2)a
    on remaque que f est une application lineaire et on démontrer sa bijectivité en utilisant les déf et ça devrait aller...
    b de même pour cette question

    Si tu as des pb encore je verrais ce que je peux faire pour détailler...



  • bjr Rimbe,
    voilà, je n'arrive pas à répondre aux questions 1)c et 3).
    Tu peux m'aider svp ?
    Merci d'avance A+
    Aurélie



  • Pour la 1c, tu fais normalement: soit x app à Ker p alors p(x)=0=1/2(s+idE)(x) =>(s+idE)(x)=0 => x app à Ker(s+idE).
    De m^me pour l'inverse...
    Pour l'utre tu as E=Ker p+Im p=Ker(s-idE)+Ker(s+idE)
    or Ker p = Ker(s+idE) dc Im p = Ker(s-idE).

    f est une symétrie et tu as du trouver l'axe de celle ci ds la question 2b) et 1/2(f+idE) est une projection sur Ker(f+idE) parale à Ker (f-idE).

    Bonne math


 

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