Anneau de polynômes

Bonjour à tous
J'aimerais avoir un avis sur un raisonnement que j'ai fait , car je ne suis pas sûr de moi .
Tout anneau euclidien est principal ( ça , c'est connu ) .
Mais on me demande la réciproque dans une situation particulière :

l'anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans A .

est principal , alors il est euclidien .

Voilà mon raisonnement :
Le polynôme X ( ou 1.X ) est irréductible , et l'anneau est principal , donc l'idéal (X) est maximal .
Donc A[X]/(X) est un corps .
Mais A[X]/(X) est isomorphe à A , donc A est un corps .

est euclidien .

Voilà .
Est-ce quelqu'un peut me dire si ce raisonnement comporte une erreur ( ou plusieurs ! ) .
Merci d'avance .

Toujours personne ?

Bonsoir,
j'ai soumi la question à un ami de ma classe très fort en algèbre, selon lui( et moi), le raisonnement ne comporte pas d'erreur... (c'est pile le genre de chose qu'on doit savoir demontrer pour les partielles à venir, donc s'il y avait tout de même une erreur, fais moi signe^^)

Bonjour,
Merci pour ton intervention.
J'en profite pour remettre sur le tapis une question dont je n'ai pas la réponse : " Nombres premiers particuliers ".
Si tu peux y jeter un coup d'oeil ...