Etude d'une fonction et d'une population



  • Bonjour tout le monde!
    Voila j'ai un exercice (un peu long) surquel je bloque dès le début voici l'énoncé :
    La population d'une ville nouvelle est donnée par la formule :
    P(t) = [40(t+5)²] / (t²+100)
    où t est le temps écoulé depuis 2000 (exprimé en années) et P(t) est le nombre d'habitants (exprimé en milliers).
    On se propose d'étudier l'évolution de cette population.
    A.Etude de fonction :
    Soit f définie sur R par f(x) = (x+5)² / x²+100
    1°) a) Calculer f ' (x) et étudier son signe. (là j'ai trouvé f ' (x)=(-10x²+150x+1000) / (x²+100)² avec de ]-inf/ ; -5] négatif ; [-5 ; 20] positif et [20 : +inf/[ négatif)
    b) En déduire le sens de variation de f sur R en précisant les extremum (donc décroissante, croissante et décroissante sur les mêmes intervalles de la question précédente. Et petite question pour les extremum des infinis je fais comment ??)

    2°) Etudier les limites de f en +inf/ et en -inf/. En donner une interprétation graphique. (Les limites j'ai jamais rien compris je sais qu'il me faut prendre le monome de plus haut degré mais pour le numérateur je développe ou je prend toute la parenthèse??)

    Je vais m'en tenir à la partie A pour le moment, j'arriverais peut-être à avancer toute seule.

    Merci d'avance!



  • f'(x) me semble juste, les variations aussi.
    L'idée pour les limites, c'est que l'on peut négliger x devant x^2 quand x tend vers l'infini. Pour donner un sens précis à cela, on met en facteur le terme dominant, c'est ce que tu voulais faire.
    Deux solutions :

    tu développes (x+5)^2 = x^2 +10x+25=x^2 (1+10/x+25/x^2)
    mieux, tu ne perds pas de temps à développer : (x+5)^2 =x^2 (1+5/x)^2

    Au dénominateur, tu fais pareil, sauf que la question du développement ne se pose pas.



  • En ce qui concerne le rapport entre limite et extremum, c'est essentiellement une question de convention. Il faut que tu regardes dans ton manuel/cahier quelle définition ton prof utilise pour un extremum. La question se pose parce que la limite en (par exemple) +inf/ de f n'est pas à proprement parler atteinte par f. Quand x augmente vers +inf/, f(x) se rapproche de sa limite sans jamais l'atteindre, et personnellement, je n'appellerai pas cette limite un minimum de f. Il existe le terme approprié de borne inférieure, mais je ne pense pas qu'il soit à votre programme...
    Quelqu'un a-t-il des remarques plus claires sur ce sujet ?



  • TrolleFarceuse

    j'ai trouvé f ' (x)=(-10x²+150x+1000) / (x²+100)² avec de ]-inf/ ; -5] négatif ; [-5 ; 20] positif et [20 : +inf/[ négatif)

    Le temps écoulé depuis 2000 peut difficilement être négatif (même si mathématiquement cela pourrait se concevoir).
    Tu dois donc limiter ton étude à [0;+inf[

    TrolleFarceuse

    b) En déduire le sens de variation de f sur R en précisant les extremum (donc décroissante, croissante et décroissante sur les mêmes intervalles de la question précédente. Et petite question pour les extremum des infinis je fais comment ??)

    Extremums = minimum ou maximum. Dans le cas présent la dérivée étant positive sur [0;20] et négative sur [20;+inf[ tu as un maximum en 20.
    En l'infini, il ne s'agit par d'extremum, mais de limite. Je t'invite à te replonger dans ton cours de première, chapitre "comportement asymptotique des fonctions".
    Mais c'est le sujet de la question suivante...

    TrolleFarceuse

    2°) Etudier les limites de f en +inf/ et en -inf/. En donner une interprétation graphique. (Les limites j'ai jamais rien compris je sais qu'il me faut prendre le monome de plus haut degré mais pour le numérateur je développe ou je prend toute la parenthèse??)

    Le monome de plus haut degré oui. Mais il faut que numérateur et dénominateur soient sous forme de polynôme (donc développés).
    Donc tu développes et tu gardes le monome de plus haut degré du numérateur et celui de plus haut degré du dénominateur. Ici tu obtiens x² en haut et x² en bas.
    En l'infini f(x) aura la même limite que x²/x², c'est à dire 1.



  • Je vous remercie bcp tous les deux !!! 😉 Vous m'avez été d'une grande aide 🙂


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