Méthode de résolution d'une inéquation



  • bonjour je dois résoudre l'inéquation (x-5)^2 >= 9 et j'ai trouvé que c'était pour x app/ [5;8] est ce que mon résultat est juste?



  • Par exemple, x=3 vérifie l'inégalité de départ mais n'est pas dans ton ensemble de solutions.

    Reprenons. a^2 >= 9 si et seulement si sqrtsqrt(a^2) >=3 (parce que la fonction racine carré est croissante).
    Mais sqrtsqrt(a^2)=|a|, la valeur absolue de a, qui est égale à a si a<=0, et à -a si a>=0.
    Donc a^2 >= 9 si et seulement si |a|>= 3, ce qui est équivalent à -3 >= a >= 3. Conclusion ?



  • j'en ai aucune idée je n'ai rien compris



  • Sais-tu résoudre l'inéquation x^2>=9 ?



  • ça fait x^2 -9 >= 0
    =(x-3)(x+3) >= 0 non?



  • Bien. Donc les solutions de l'inéquation sont ?



  • et bien c'est -3 et 3



  • Non, -3 et 3 sont les solutions de l'équation (x-3)(x+3)=0. Quelles sont les solutions de l'inéquation (x-3)(x+3)<=0 ?



  • [-3;3]



  • Bon. Tu as donc montré que x^2 >=9 si et seulement si -3 >= x >= 3.
    En réalité, tu cherches les x tels que (x-5)^2 >= 9.
    Il ne te reste plus qu'à refaire exactement le même raisonnement, mais en replaçant x par x-5.
    Qu'est ce que ça donne ?



  • ça fait -8 >= x >= -2



  • Non. Par exemple -5 ne marche pas. Si tu détailles ton raisonnement, je pourrai te dire où tu t'es trompée



  • ah nan c'est pas pour x appartenant à ]-5;-8[ ? en fait j'ai fait le tableau de signes et je trouve que pour les valeurs de -5 à -8 l'inéquation est négative donc inférieur à 0



  • Non plus.
    On veut résoudre (x-5)^2 -9 >=0
    (x-5)^2-9=(x-5-3)(x-5+3)=(x-8)(x-2). Es-tu d'accord avec ça ? Si oui, je ne vois pas comment apparaissent -5 et -8 dans ta solution.



  • oui je suis d'accord donc la réponse est [2;8]



  • Oui. Tu peux vérifier en traçant la fonction (x-5)^2-9 avec une calculatrice graphique.
    à+



  • ok mais quand par exemple j'ai une inéquation comme x^2 -2x+1 >= 0
    comment je fais pour la résoudre?



  • Dans le cas général d'un trinôme du second degré f(x)=ax^2+bx+c.
    On veut résoudre f(x)>=0.

    1. S'assurer que a est non nul (si a=0, tu connais la méthode)
    2. Calculer le discriminant D=b^2-4ac
    3. Si D>0, le trinôme a deux racines distinctes. Si a>0, l'ensemble des solutions est l'intervalle entre les deux racines. Si a<0, c'est le reste
    4. Si D=0, le trinôme a une seule racine. Si a>0, l'ensemble des solutions ne contient que cette racine. Si a<0, tous les nombres réels sont solutions
    5. Si D<0, le trinôme n'a pas de racines, il est donc de signe constant. L'ensemble des solutions est vide si a>0, et contient tous les réels si a<0

    Pour que les points 3) à 5) soit bien clairs, je te conseille avant tout de tracer la courbe représentative d'un trinôme. Elle a un nom, c'est une parabole. Tu verras que, si a>0, les branches de la parabole partent vers le haut, et le trinôme admet un unique minimum m. Alors trois types de cas peuvent survenir : soit la valeur f(m) de ce minimum est positive (D<0,pas de solutions), soit elle est nulle (D=0, une unique solution), soit elle est négative (D>0, un intervalle de solution).
    C'est peut-être un peu confus...
    :frowning2:



  • ... une discussion dans le plus pur "style mylene" !
    chapeau stephane.

    je ne suis pas sûr qu'elle ait vu le second degré.


 

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