polynômes de legendre

Bonjour,

on a $Q_n$ =n!/(2n)! * [(X² $- 1)$ ^n $^{(n)}$
comment est ce que je montre que Qn appartient à $mathbb{R}$ [X]?

Bonjour ,
Je ne comprends pas la question :
tous les coefficients sont réels ?

n est un entier naturel.

Oui , mais pas n!/(2n)!
Qu'importe : même si les coefficients étaient entiers , ils seraient réels .

Autre chose :
es-tu sûr du coefficient n!/(2n)! : ne manque-t-il pas un $2^n$ quelque part ?

non c'est bien ça.

on a $Q$ _n $= X$ ^n $+ a$ _n $X$ ^{n-1} $+ b$ _n $X^{n-2}$ +Rn
il faut que je détermine an et bn
Q0=1
Q1=X
Q2=x²-1/3
$Q3=X^3$ -3X/5
$Q4=X^4$ -6X²/7+3/35
.....

donc je trouve an=0 mais pour bn je n'ai pas réussi, pourriez vous m'aider

Je n'arrive pas aux mêmes résultats que toi .
Peux-tu détailler le calcul de Q2 par exemple ?

$Q2=(2/4!)*[(x^4$ -2X² $1]^{(2)}$
=1/12 * (12x²-4)

avce (2) la dérivée seconde

Ok , c'est simplement que j'ai un multiplicateur différent dans mes livres .
Pour bn , je réfléchis ...

Une piste possible :
Développe (x² $1)^n$ , et dérive n fois .
Inutile d'écrire tout le développement : seuls les 3 premiers termes sont utiles .

Rectif:
Seuls les deux premiers termes suffisent , car les puissances vont de 2 en 2 .

J'ai fait les calculs : ça marche .

merci beaucoup!