Aire du triangle équilatéral

Bonjour,

J'ai une petite question :

Si on a un triangle équilatéral dont la longueur d'un côté mesure a, quelle est son aire, en fonction de a ? Justifier.

Pouvez-vous m'expliquer comment on fait vu que l'aire d'un triangle est bxh/2 on a b=a mais h ? On note H ?

Merci
Amicalement

Bonjour ,
Pour clarifier les choses , appelons ABC le triangle équilatéral .
Soit H le milieu de [BC] , et a la mesure de chacun des côtés du triangle .
Combien vaut BH ?
Que peut-on dire de la droite (AH)?

(AH) est la hauteur.

Sourire62
(AH) est la hauteur.

Oui , mais tu n'as pas répondu à l'autre question : que vaut BH ( la mesure ) ?

BH=1/2BC donc 1/2a

Quelle est la nature du triangle ABH ?

Rectangle

Dans ABH rectangle en H
D'après le théorème de Pythagore :
AB²=AH²+BH²
a²=AH²+1/2a
AH²=a²-1/2a

C'est bien sa ?
Ensuite AH=Va²-1/2a
AH=a-1/2a C'est correct ?

Citation

AB² = AH² + BH²
a² = AH² +
1/2a

AH = Va² - 1/2a
AH =
a - 1/2a
oh que non !

recommence avec plus de rigueur

Mince .. C'est AH =a-V1/2a

non

déjà au début c'est BH² = (1/2 a)² = a²/4 à injecter dans l'égalité de Pythagore.

Ah & donc après j'ai la hauteur
Donc il me reste à calculer l'aire !

AH²= 4a²/4-a²/4=3a²/4
AH=V3a²/4=3a²/4 C'est ça ?

Je récapitule

AB²=AH²+BH²
a²=AH²+(1/2a)²

AH²=a²-(1/2a)²
AH²= 4a²/4-a²/4=3a²/4
AH=V3a²/4=3a²/4 C'est ça ?

= aV3/2

tu as presque tout bon : seule la fin est fausse ; je te montre en détail.

$AH2=3a24AH^2 = \frac{3a^2}4$

$AH = \sqrt{\frac{3a^2}4} = \frac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2}}2 = \fbox{\frac{a\sqrt{3}}2}$

D'accord

Donc maintenant je dois calculer l'aire de ce triangle équilatéral
A=bxh/2
Aire ABC=ax(aV3/2)/2=(a²V3/2)/2=a²x(2V3)/2=axV3/2x1/2=ax(V3/4) cm²
C'est correct ?

tu n'es pas loin mais j'ai noté une erreur incohérente avec le reste
Citation
Aire ABC = ax(aV3/2)/2 = (a²V3/2)/2 = a²x(
2V3)/2 = axV3/2x1/2 = ax(V3/4) cm²
non ; si je te demande (m/2)/2, tu me réponds quoi ?

ensuite tu as oublié le carré sur a.

la réponse est
$a234\frac{a^2\sqrt3}4$

Non il n'y a pa de 2

Aire ABC = ax(aV3/2)/2 = (a²V3/2)/2 = a²x(2V3)/2 = axV3/2x1/2 = a²
x(V3/4)

c'était donc une faute de frappe : ok !
bonne continuation

Merci beaucoup !

Bonsoir,

Pouvez-vous me corriger ?

Exercice d'application :

On considère un triangle a2d2c1 équilatéral. les 3 côtés valent 10-2x
Il faut calculer l'aire.
Il faut trouver h car A=bxh/2

Dans le triangle a2hc1 d'après le théorème de Pythagore:
a2c1²=a2h²+c1h²
(10-2x)²=[1/2(10-2x)]²+c1h
c1h²=(10-2x)²-[1/2(10-2x)]²
=[10²-2x10x2x+(2x)²]-[(1/2)²x(10-2x)²
=100-40x+4x²-2/4[10²-2x10x2x+(2x)²]
=4x²-40x+100-2/4(4x²-40x+100)
=4x²-40x+100-(2x²-20x+50)
=4x²-40x+100-2x²+20x-50
=2x²-20x+50

Pouvez-vous me dire si h est correct pour que ensuite je puisse calculer l'aire sans me tromper
Merci

Amicalement

si ton exercice est la suite du précédent, pourquoi ne pas te servir des formules déjà établies ?

si le côté est 10-x, alors la hauteur est (10-x)√3 /2 et l'aire... cf ci-dessus.

C'est que j'ai vraiment chercher compliqué !

Donc h = (10-x)V3/2

& donc l'aire : (10-2)²x(V3/4)

C'est cela alors ?

C'est correct ?

Amicalement