suite arithmético-géométrique a_{n+1} = 0,6a_n + 200 (ex:étude d'une suite exercice 2)


  • M

    Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

    Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
    L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%.
    On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
    On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
    On veut étudier l'évolution de cette population.

    1. a) Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clients de A en 2002.
      b) On note an le nombre de clients de A l'année (2000+n).
      Etablissez que an+1a_{n+1}an+1 = 0,8an8a_{n }8an+ 0,2(1000−an2(1000-a_{n }2(1000an)
      Déduisez-en que an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_{n }6an+ 200
      c) Exprimez an en fonction de n.

    2. a) Montrez que, quel que soit l'entier n, ana_nan>500
      b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a ana_nan<502
      c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

    Pour 1)a) CM = 1 - 20/100 = 0,8
    900 x 0,8 = 720
    0,2(1000-900) = 20
    Donc 720 + 20 = 740
    En 2002: 0,8 x 740 + 0,2(1000-740) = 644
    Donc il y a 644 clients de A en 2002

    b) En simplifiant an+1a_{n+1}an+1 = 0,8an + 0,2(1000-an)
    on trouve an+1a_{n+1}an+1 = 0,8an8a_{n }8an+ 200 - 0,2an2a_n2an
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,4an4a_{n }4an+ 200 - 0,1an1a_n1an
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,3an3a_{n }3an+ 200
    ???

    Aidez-moi svp
    Merci d'avance


  • M

    Bonjour ,
    an+1 = 0,8an + 200 - 0,2an
    Jusque là , tout va bien .
    Mais j'avoue ne plus comprendre la suite de ton calcul .
    D'où viennent ces divisions par 2 qui ne frappent que les ana_nan ?


  • M

    Je me suis trompé!
    je trouve :
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,8an8a_n8an + 200 - 0,2an2a_n2an
    an+1a_{n+1}an+1 = (0,8-0,2)an2)a_n2)an + 200
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200


  • M

    Voilà . Tu peux continuer .


  • M

    Alors pour le 1) c)
    ana_nan = 900 × 0,8n8^n8n

    C'est ça ?


  • M

    Je ne trouve pas cela . Détaille tes calculs .


  • M

    A non c'est ana_nan = 2000 + n
    car c'est marqué dans la question :"On note ana_nan le nombre de clients de A l'année (2000+n)."


  • M

    Pas d'affolement !
    2000 + n , c'est l'année . Ce n'est pas le nombre ana_nan de clients .
    Pars de an+1a_{n+1}an+1 = 0.6an6a_n6an + 200
    Et cherche à " fabriquer " une suite géométrique .


  • M

    Alors
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + (100×2)
    ana_nan = 0,6an6a_n6an + (100×2) - 1


  • M

    Aïe , tu mélanges tout .
    C'est an+1a_{n+1}an+1 , aucun lien avec a + n + 1 !!!
    Reprends :

    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200 ( et laisse les indices tranquilles )
    donc an+1a_{n+1}an+1 -500 = ??


  • M

    Mais c'est quoi le 500 ???


  • M

    C'est pour t'aider : cela va te permettre de te brancher sur une suite géométrique .
    Confiance :
    an+1a_{n+1}an+1 -500 = ??


  • M

    Je viens de m'apercevoir que le même sujet a déjà été posté et qu'il y a été répondu !!


  • Zorro

    Bonjour,

    En effet en utilisant la fonction "Recherches" ( en haut à gauche) et le mot :

    télécommunications

    on trouve des éléments de réponse :

    http://www.mathforu.com/sujet-5617.html

    http://www.mathforu.com/sujet-1472.html

    http://www.mathforu.com/sujet-5852.html

    A toi de voir celui qui ressemble le plus à ton exercice ! Bonnes lectures !


  • M

    Alors an+1a_{n+1}an+1 - 500 = 0,6(an6(a_n6(an-500)

    C'est ça ???


  • M

    Ensuite je trouve :
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200
    Donc c'est une suite arithmétique de raison 200
    Donc ana_nan = a0a_0a0 + (n×r)
    ana_nan = 900 + 200n

    C'est ça ?


  • Thierry
    Modérateurs

    maya1011

    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200
    Donc c'est une suite arithmétique de raison 200
    Ben non ...

    Une telle suite arithmétique aurait pour relation de récurrence : aaa_{n+1}=an=a_n=an + 200

    Tu as pu finir ton autre exercice ?


  • M

    A oui alors
    an+1a_{n+1}an+1 = 0,6an6a_n6an + 200
    Donc ana_nan = 500 + 400×0,6n6^n6n

    Oui j'ai fini l'autre exercice merci


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