suite arithmético-géométrique a_{n+1} = 0,6a_n + 200 (ex:étude d'une suite exercice 2)

Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%.
On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut étudier l'évolution de cette population.

a) Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clients de A en 2002.
b) On note an le nombre de clients de A l'année (2000+n).
Etablissez que $a_{n+1}$ = 0, $8a_{n }$ + 0, $2(1000-a_{n }$ )
Déduisez-en que $a_{n+1}$ = 0, $6a_{n }$ + 200
c) Exprimez an en fonction de n.
a) Montrez que, quel que soit l'entier n, $a_n$ >500
b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a $a_n$ <502
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

Pour 1)a) CM = 1 - 20/100 = 0,8
900 x 0,8 = 720
0,2(1000-900) = 20
Donc 720 + 20 = 740
En 2002: 0,8 x 740 + 0,2(1000-740) = 644
Donc il y a 644 clients de A en 2002

b) En simplifiant $a_{n+1}$ = 0,8an + 0,2(1000-an)
on trouve $a_{n+1}$ = 0, $8a_{n }$ + 200 - 0, $2a_n$
$a_{n+1}$ = 0, $4a_{n }$ + 200 - 0, $1a_n$
$a_{n+1}$ = 0, $3a_{n }$ + 200
???

Aidez-moi svp
Merci d'avance

Bonjour ,
an+1 = 0,8an + 200 - 0,2an
Jusque là , tout va bien .
Mais j'avoue ne plus comprendre la suite de ton calcul .
D'où viennent ces divisions par 2 qui ne frappent que les $a_n$ ?

Je me suis trompé!
je trouve :
$a_{n+1}$ = 0, $8a_n$ + 200 - 0, $2a_n$
$a_{n+1}$ = (0,8-0, $2)a_n$ + 200
$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200

Voilà . Tu peux continuer .

Alors pour le 1) c)
$a_n$ = 900 × 0, $8^n$

C'est ça ?

Je ne trouve pas cela . Détaille tes calculs .

A non c'est $a_n$ = 2000 + n
car c'est marqué dans la question :"On note $a_n$ le nombre de clients de A l'année (2000+n)."

Pas d'affolement !
2000 + n , c'est l'année . Ce n'est pas le nombre $a_n$ de clients .
Pars de $a_{n+1}$ = 0. $6a_n$ + 200
Et cherche à " fabriquer " une suite géométrique .

Alors
$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200
$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + (100×2)
$a_n$ = 0, $6a_n$ + (100×2) - 1

Aïe , tu mélanges tout .
C'est $a_{n+1}$ , aucun lien avec a + n + 1 !!!
Reprends :

$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200 ( et laisse les indices tranquilles )
donc $a_{n+1}$ -500 = ??

Mais c'est quoi le 500 ???

C'est pour t'aider : cela va te permettre de te brancher sur une suite géométrique .
Confiance :
$a_{n+1}$ -500 = ??

Je viens de m'apercevoir que le même sujet a déjà été posté et qu'il y a été répondu !!

Bonjour,

En effet en utilisant la fonction "Recherches" ( en haut à gauche) et le mot :

télécommunications

on trouve des éléments de réponse :

http://www.mathforu.com/sujet-5617.html

http://www.mathforu.com/sujet-1472.html

http://www.mathforu.com/sujet-5852.html

A toi de voir celui qui ressemble le plus à ton exercice ! Bonnes lectures !

Alors $a_{n+1}$ - 500 = 0, $6(a_n$ -500)

C'est ça ???

Ensuite je trouve :
$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200
Donc c'est une suite arithmétique de raison 200
Donc $a_n$ = $a_0$ + (n×r)
$a_n$ = 900 + 200n

C'est ça ?

maya1011

$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200
Donc c'est une suite arithmétique de raison 200
Ben non ...

Une telle suite arithmétique aurait pour relation de récurrence : $a$ _{n+1} $a_n$ + 200

Tu as pu finir ton autre exercice ?

A oui alors
$a_{n+1}$ = 0, $6a_n$ + 200
Donc $a_n$ = 500 + 400×0, $6^n$

Oui j'ai fini l'autre exercice merci