Global Moderators

De rien @helpcbv ,
Je t'ai donné une piste possible par étude de fonction, car j'aime bien cette méthode.

La méthode de ton corrigé est différente mais très bonne aussi.

Elle consiste à diviser les deux membres de l'inégalité par $W_{n}+1$.
Vu que $W_n+1$ est strictement positif (à justifier), on peut diviser les deux membres de l'inégalité par $W_n+1$ sans changer le sens de cette inégalité, d'où la réponse attendue.

Tu as donc deux démonstrations possibles.
Il y en a peut-être d'autres d'ailleurs ...

Bon travail !

@helpcbv bonjour,

Pour écrire les expressions correctes, tu dois utiliser le Latex ...
Je te mets un lien :
https://forum.mathforu.com/category/26/latex

Pour ton exercice, la démonstration de l'hérédité n'est pas bonne car on ne peux pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens.

Une piste possible : passer par les variations de le fonction f définie par $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ pour $x\ge 1$

$f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}$ donc f'(x) positive donc f croissante.
de plus $f(1)=1$
donc pour $x\ge 1$ , $f(x)\ge 1$

Tu poses ensuite $W_n=x$ et $W_{n+1}=f(x)$ et tu tires les conclusions utiles.

Dut, bonjour !

Rappel sur la définition de valeur absolue

pour $a\ge 0$, |a|=a
pour $a\le 0$, |a|=-a

Dans ton énoncé, t est compris entre -1 et 1, donc $1-t \ge 0$ donc $|1-t|=1-t$

En bref, l'intégrale que tu proposes est simplement

$\int_{-1}^{1}(1-t)dt=\biggl[t-\dfrac{t^2}{2}\biggl]_{-1}^1=2$

Remarque :
L'exercice aurait été plus pertinent si les bornes de l'intégrale avaient été, par exemple, 0 et 2 (il y aurait ainsi eu deux cas)

Bonsoir Constance,

C'est de la forme $ax + b$ avec $a=\dfrac{\sqrt2}{3}$ et $b= 2$.

@Constance

De rien et bonnes suites !

@Constance

On remplace $W_n$ et $V_n$ par leur expression en fonction de n pour trouver $U_n$ en fonction de n.

Indique tes calculs si tu souhaites une correction.

L'idée de récurrence double ne t'est peut-être pas familière.

Tu supposes que la propriété (***) est vraie à l'ordre n et à l'ordre (n+1).
Tu dois démontrer que cette propriété (***) est vraie à l'ordre (n+2)

@Constance

Tu en déduis l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
Que tu remplaces dans $U_n=W_n \times V_n$.

@Constance ,

Tu as peut-être fait une erreur de calcul,

Piste,

$U_{n+2}=U_{n+1}-\dfrac{1}{4}U_n$

$U_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2n-1}{2^n}$

Pense que $4=2^2$

$U_{n+2}=\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}$

Il te reste à réduire les deux fractions au même dénominateur $2^{n+2}$ ( en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2)

Après avoir terminé ce calcul tu dois trouver le bon résultat
$U_{n+2}=\dfrac{2n+3}{2^{n+2}}$

@Noemi et @ElSam bonjour,

@ElSam ,
Comme l'a demandé Noemi, vu que tu n'écris pas en Latex, on ne sait guère que sont exactement les deux expressions données pour les numérateurs...

Je reste perplexe aussi sur le début de l'énoncé...

Il est écrit " Soit h la fonction définie sur R "

Vu les dénominateurs indiqués, la fonction h n'est pas définie sur R mais sur R-{0}=R*

En effet, pour x>2, ça va vu que le dénominateur (x-2) ne peut pas s'annuler sur $]2,+\infty[$
Par contre, pour $x\le 2$ , le dénominateur x s'annule pour x=0 qui fait partie de l'intervalle $]-\infty,2]$

Donc $D_h=R^*$

Si tu as besoin d'un complément pour l'aide, ce serait bien que tu donnes un énoncé plus précis.