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Bonjour sirius84 et Noemi,

Comme j'ai un peu de temps, je détaille un peu le principe.

On travaille ici avec des nombres positifs.
Toutes les fractions ont le même numérateur
Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite, d'où :

$\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1} \le \frac{n}{n^2+1}$
$\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+2} \le \frac{n}{n^2+1}$
$\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+3} \le \frac{n}{n^2+1}$
...
...
$\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1}$

En ajoutant membre à membre, on peut obtenir l'encadrement souhaité.

Conséquence, en utilisant l'encadrement trouvé
Si la limite de $U_n$ est demandée, en cherchant la limite de $\frac{n^2}{n^2+n}$ et $\frac{n^2}{n^2+1}$ lorsque n tend vers +$\infty$, on obtiendra la même valeur qui sera la limite de $U_n$ : c'est cela le Théorème des deux gendarmes.

Bon travail !

@hadil-benyahia99 ,

Je te conseille de bien comprendre le principe de récurrence et de refaire seul l'exercice avant de l'expliquer à ton professeur.

Bon travail !

Tu veux démontrer par récurrence une propriété vraie pour tout n $n \ge 2$

Pour cela :

1. Tu dois prouver que cette propriété est vraie pour la valeur de n de départ, ici n=2
   c'est l'initialisation (qui n'a rien à voir avec l'hérédité)

2. Ensuite, tu dois prouver que si la propriété est vraie à un ordre n ($n\ge 2$) alors elle est vraie à l'ordre n+1
   c'est l'hérédité ( on dit aussi Transmission)

Lorsque 1 ) et 2) sont prouvés, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout n supérieur ou égal à 2

Bonsoir Phalafail,

Tu choisis les inconnues:
Soit $x$ le nombre d'employés et
$y$ la somme perçue par chacun si partage équitable.

Première équation : $xy = 9600$
Deuxième équation : avec $x - 4$ employés la somme perçu est $y+80$
soit $(x-4)(y+80) = 9600$

Il reste à résoudre ce système de deux équations à deux inconnues et tu peux t'aider de notre fiche méthode : Résolution de systèmes d'équations

Bonjour sirius84,

Cherche un encadrement d'un terme quelconque de Un
.... ≤ n/($n^2$+a) ≤ .... avec a entier naturel non nul,
que tu appliques aux n termes.

Hérédité (ou Transmission, suivant ton vocabulaire)

Hypothèse à un ordre n ($n \ge 2$) : on suppose qu'il il a 2n points et n²+1 segments entre ces points et que les n²+1 points forment au moins un triangle

Pour 2(n+1) points et (n+1)²+1 segments entre ces points, il faut prouver qu'il y a au moins un triangle, en faisant intervenir l'hypothèse à l'ordre n.

Une idée (si tu n'en trouves pas d'autre) :
2(n+1)=2+2n
Soit A,B et 2n autres points.
Soit C un des 2n autres points.

Il y a deux éventualités relatives à C (que l'on peut détailler) :

1ère éventualité : Pour au moins un point C, les segments [CA] et [CB] font partie des (n+1)²+1 segments donnés.
La conclusion est immédiate vu que l'on obtient le triangle ABC

2ème éventualité : pour tout point C, il existe seulement 1 (ou 0) segment liant C avec A (ou B).
Parmi les (n+1)²+1 segments, (2n+1) est majorant du nombre de segments dont une (ou aucune) des extrémités est A (ou B)
Or [(n+1)²+1]-(2n+1)=n²+1
On peut déduire que l'on peut trouver n²+1 segments ayant leurs deux extrémités parmi les 2n points.
Avec l'hypothèse de la récurrence, on peut tirer la conclusion souhaitée (il y a au moins un triangle).

Cette explication n'est pas simple...si tu en trouves une plus simple, ce sera encore mieux...

Bon courage !

Quelques idées possibles pour la récurrence,

Initialisation pour n=2
2n=4 et n²+1=5
Soit A,B,C,D les 4 points.
Avec 4 points, on peut former 6 segments .
Ce nombre 6 peut se trouver avec la formule des combinaisons , mais si les combinaisons ne font pas partie de ton programme, tu peux expliciter ces 6 segments [AB],[AC],[AD], BC],[BD],[CD]
Ici, il y a 5 segments donnés.
Tu peux déduire que 2 points ne sont pas liés entre eux.
Supposons que ces points non reliés soient A et B
Tu explicites les 5 segments existants et tu trouveras ainsi au moins un triangle.

Bonsoir hadil.benyahia99,

C'est vrai que cette récurrence est assez délicate.
Ce soir, c'est trop tard.
Demain je prendrai le temps de te donner des pistes pour l'initialisation et la transmission, si tu en as besoin.

Bonjour Sara

C'est la méthode.
Attention tu as mis + à la place de x pour le calcul de S : 9 x ....

Bonjour Jess59690,
Un petit "bonjour" et un petit mot de remerciements pour l'aide demandée seraient les bienvenus...
Il faudra y penser une prochaine fois.