convexité de ln

bonjour
j'ai un pb je trouve pas , voici 'énoncé

a) Démontrer que quelle que soit les réels A et B STRICTEMENT POSITIF an a :
(a+b)/2 plus grand que √ab

b) la courbe C(x) et la coube représentative de la fonction ln(x)
on considére les point A et B de C(x) d'abcisses respective a et b;
on désigne pas D le milieux de [AB] ET par E le pts de C(x) d'abcisse (a+b)/2

démontré que le pts E est audesus de pts D quels que soitent a et b
on traduit cette propriété en disant que cette courbe est convexe

salut
Citation
a) Démontrer que quelle que soit les réels A et B STRICTEMENT POSITIF on a : (a+b)/2 plus grand que √ab
considère la différence (a+b)/2 - √(ab) = 1/2 [a + b - 2√(ab)]

une identité permet de factoriser [a + b - 2√(ab)]...

donc pour repondre a la premiére question je met :
a/2 +b/2 >√ab
a+b >√a *√b *2
(a+b)/√ab>2
donc a+b >√ab
aprés je sais pas meci

ça ne mène à rien.

regarde ce que j'ai écrit au dessus.

ok j 'éssaye merci

sa fais 1/2 (√a-√b) ²

donc je fais (a+b)/1 - 2√ab= (√a-√b)²

(a+b)/2 - √(ab) = 1/2 [a + b - 2√(ab)] = 1/2 (√a-√b)²

c'est toujours de signe...

voilà tu as fait la question a).

ok merci sympat

pour l'abcisse du pts D c'est (l'abcisse de A moin l'abcisse de B)/2

non c'est (l'abcisse de B moin l'abcisse de A)/2

ET donc E au dessus du PTS D car il a un abcisse plus grand
car la foction c'est ln(x) ( elle est croisante )

es ce que c bon

minute

Citation
b) la courbe C(x) est la courbe représentative de la fonction ln(x). on considère les point A et B de C(x) d'abscisses respective a et b. on désigne pas D le milieux de [AB] et par E le pts de C(x) d'abscisse (a+b)/2. démontrer que le pts E est au-dessus de pts D quels que soient a et b.

tu dois comparer ln [(a+b)/2] et l'ordonnée du milieu de [AB].

trouve déjà l'ordonnée du milieu de [AB], sachant que les coordonnées sont A(a, ln(a)) et B(b, ln(b)).

pour D [(a+b)/2,(ln(b)-ln(a))/2]

non, c'est une addition : D [(a+b)/2,(ln(b)
+ln(a))/2]

maintenant tu dois trouver le signe de

ln [(a + b) / 2] - [ln (b) + ln (a)] / 2

donc je doit comparer ln [(a+b)/2] et [(a+b)/2,(ln(b)-ln(a))/2]

ha daccor merci

je t'en prie !

(ln(a)*ln(b))/2-(ln(a))/2 - (ln(b))/2

je trouve pas le signe svp

comme ça par exemple

ln [(a + b) / 2] - [ln (b) + ln (a)] / 2

ln [(a + b) / 2] - [ln (b)/2 + ln (a)/2]

ln [(a + b) / 2] - [ln (√b) + ln (√a)]
(propriété du logarithme et de la racine)

ln [(a + b) / 2] - ln (√b√a)
(propriété du logarithme et de la multiplication)

or deux nombres sont rangés comme leurs exponentielles
(propriété de la croissance de l'exponentielle)

donc ln [(a + b) / 2] - ln (√b√a) est du même signe que (a + b) / 2 et √b√a.

la question 1 montre donc que

ln [(a + b) / 2] - [ln (b) + ln (a)] / 2 > 0

CQFD.

ok c vraiment clair j'ai compri
je te remerci !!