Dm sur les suites



  • bonjour
    j'ai un petit dm ou je suis bloqué sur la dernier question
    alors je cherche un peu d'aide svp

    on considère la suite (un) définie pour tout entier n strictment positif par
    un=sin(1/n²)+sin(2/n²)+...+sin(n/n²)

    1_ soit la suite (vn) définie pour tout entier n strictement positif
    vn=1/n²+2/n²+...+n/n²
    démontrer que la suite converge vers 1/2
    alors ca je l'ai fai et j'ai trouvé Sn=(n+1)/(2n)
    donc la lim est bien 1/2

    2_démontrer que chacune des trois fonctions numérique suivantes ne prend que des valeurs positivessur (o;+infinie)
    je les fait avec le théorème des gendarmes

    3_sachant que 1^3+2^3+...+n^3=(n²(n+1)²)/4 démontrer que pour tout entier n non nul
    vn-(1/24)*((n+1)²)/n^4 < un < vn
    et la je bloque
    alors je demande de l'aide
    svp



  • énoncé incomplet...

    Question 2
    les fonctions en question sont
    x -> x - sin x
    x -> -1 + x²/2 + cos x
    x -> -x + x^3/3 + sinx.



  • Déjà x-sinx > 0 doit t'inspirer que 1/n²-sin(1/n²) > 0 de même que 2/n²-sin(2/n²) etc.
    Donc Vn-Un > 0
    Donc Vn > Un

    Pour le reste je cherche



  • Je pense qu'il y a une imprécision et une erreur dans l'énoncé.

    D'abord, l'encadrement demandé dans la question 3 est au sens strict (avec des <, pas des >=). Pour éviter, arrivé à cette question, un fastidieux retour à la question 2, celle-ci devrait plutôt consister à montrer que nos trois fonctions sont strictement positives pour x>0. La méthode de démonstration est la même que pour des inégalités larges, il faut simplement faire un peu plus attention en particulier pour la première des trois fonctions.

    Ensuite, je pense qu'il faut remplacer dans la troisième fonction x^3/3 par x^3/3!=x^3/6.
    f(x)=sin(x)-x+x^3/6 est strictement positif pour x>0 parce que f(0)=0 et f'(x)=cos(x)-1+x^2/2, dont on a démontré qu'elle était strictement positive pour x>0.

    La minoration de un se traite alors de la même façon que la majoration, expliquée par Drobert :
    un=sin(1/n^2)+...+sin(n/n^2)

    1/n^2+...+n/n^2-1/6*(1^3/n^6+2^3/n^6+...+n^3/n^6)
    <= vn-1/(6n^6)(1^3+2^3+...+n^3)
    <= vn-1/(6*n^6)*n²(n+1)²/4,
    d'après le résultat admis dans l'énoncé. A des simplifications près, on a démontré le résultat attendu.

    Mais peut-être qu'il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé. Dans ce cas, je ne vois pas comment faire.


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