Devoir Maison : carré dans un carré (similitude)

Bonjour;
Je suis en 1ere S et mon professeur de Mathématiques nous a donné a Devoir Maison mais je n'arrive pas à résoudre une question, j'espère que vous pouvez m'aider. . . :rolling_eyes:

Voici le sujet et la question:
Soit ABCD un carré. On construit les points A', B', C' et D' respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que: AA'=BB'=CC'=DD'=1

Il faut démontrer que A' B' C' D' est un carré.

J'ai fais une figure mais rien y fait. . . je suis bloquée. . . :frowning2:

Aidez moi SVP. . .
Merci

Caro

Bonjour ,
que peux-tu dire des longueurs A'B , B'C , C'D , et D'A ?

Les longueurs A'B, B'C, C'D et D'A sont toutes égales entre elles.

Oui , alors que peux-tu dire des triangles AA'D' , A'BB' , B'CC' , et C'DD' ?

ben. . . ils sont égaux et renctangles en A, B, C et D ?!!

On dit plutôt "isométriques" qu'"égaux" mais ce n'est pas grave .
Que peux-tu dire de la longueur A'B' ?

c'est la meme que B'C', C'D' et D'A' ??!!!

Parfait , donc le quadrilatère A'B'C'D' est déjà un losange ( 4 côtés de même longueur )
Mais ça ne suffit pas : aux angles maintenant :
que peux-tu dire des angles AA'D' et BA'B' ?

Alors là je suis vraiment pas sur mais je pense que leur somme fait 90° ??

Oui , c'est juste : les triangles AA'D' et BB'A' sont isométriques , donc les angles AA'D' et BB'A' sont égaux .
De plus les angles BA'B' et BB'A' sont complémentaires car le triangle est rectangle , donc les angles AA'D' et BA'B' le sont aussi .
Et dans ce cas , que vaut l'angle D'A'B' ?

l'angle plat est égal a 180° donc D'A'B' = 90° ?!

Exact : ton losange possède un angle droit , donc c'est un carré .
Il y a beaucoup d'autres façons de procéder ( rotations , similitudes , ...)
Réfléchis-y et pense à bien tout
justifierquand tu rédigeras .

Merci beaucoup, c'est très gentil et j'adore la façon dont tu procèdes.
Est-ce que je pourrai encore te poser une question par rapport a cet exercice ?

Oui si c'est rapide car je vais bientôt me déconnecter , sinon , tu trouveras bien quelqu'un d'autre pour t'aider

C'est à propos d'une égalité. Il faut démontrer que lorsque AB>1 alors A'B'>1. . .

AB est nécessairement plus grand que 1 , sinon on ne pourrait pas avoir AA' = 1 , A' étant un point du segment [AB]
Tu peux alors calculer A'B'² à l'aide du théorème de Pythagore et cela te permettra de conclure

D'accord merci beaucoup! C'est très gentil !!
Merci