Complexes et Géométrie...



  • Bonjour à tous,

    Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp, je bloque dès la 1ère question et je tourne un peu en rond 😕 Merci d'avance...

    1. t réel positif ou nul, on pose :
      ztz_t = e2iPIte^{2i PI t}
      z't_t = 6 + $$sqrt$3e^{2i PI t + i(PI/2)}$)
      ztz_t = 1/2 (zt(z_t + z't_t)

    Montrer que ztz_t = 3 + e2iPIt+i(PI/3)e^{2i PI t + i(PI/3)}

    1. Deux points M et M' tournent en même tps sur deux cercles, parcourus dans le sens trigonométrique et à la même vitesse de rotation constante de 1 tour par seconde.
      ¤ M tourne sur le cercle trigonométrique et à l'instant t=0, M est en A(1,0)

    ¤ M' tourne sur le cercle de centre K(6,0) et de rayon sqrtsqrt3) et à l'instant t=0, M' est en B(6, sqrtsqrt3))

    Soit mtm_t le milieu de [MM'] à l'instant t.
    Montrer que mtm_t tourne également dans le sens trigonométrique sur un cercle C, à la même vitesse de rotation que M et M' et préciser le centre et le rayon de C ainsi que la position de mtm_t à l'instant t=0

    Note : Si deux points parcourent deux cercles dans le même sens, avec la même vitesse de rotation, il en est de même pour le milieu de ces deux points.



  • z't = 6 + 3e(2i PI t + i(PI/2))=z't = 6 + 3e(2i PI t)*e i(PI/2)
    or e i(PI/2) = 1(cos(PI/2) + i sin(PI/2) = i
    donc z't = 6 + 3 i e(2i PI t)
    1/2 (zt + z't) = 1/2 (e(2i PI t ) + 6 + 3 i e(2i PI t)) on met e(2i PI t ) en facteur
    =e(2i PI t ) (1/2 + i 3/2) +6/2
    or (1/2 + i 3/2) = e(i PI/3) [par définition de l'ecriture expo comme 2°ligne]
    donc
    1/2 (zt + z't) = e(2i PI t) *e (iPI/3) + 3
    1/2 (zt + z't) = e(2i PI t +iPI/3) + 3



  • dans ma première réponse la racine a disparu devant 3 (à rajouter sauf dans les 2 dernières lignes)
    pour le 2) il suffit de vérifier que zt est l'affixe de Mt (en t=0 z0=affixe de A)
    et z't est l'affixe de M't (en t=0 z'0=affixe de B)
    1/2 (zt + z't) est l'affixe de mt donc cercle de centre H(3,0) rayon 1 et en t=0 mt est en D(3+1/2,sqrtsqrt3/2))


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.