Complexes et Géométrie...

Bonjour à tous,

Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp, je bloque dès la 1ère question et je tourne un peu en rond Merci d'avance...

t réel positif ou nul, on pose :
$z_t$ = $e^{2i PI t}$
z' $_t$ = 6 + $$sqrt$3e^{2i PI t + i(PI/2)}$)
$z_t$ = 1/2 $z_t$ + z' $_t$ )

Montrer que $z_t$ = 3 + $e^{2i PI t + i(PI/3)}$

Deux points M et M' tournent en même tps sur deux cercles, parcourus dans le sens trigonométrique et à la même vitesse de rotation constante de 1 tour par seconde.
¤ M tourne sur le cercle trigonométrique et à l'instant t=0, M est en A(1,0)

¤ M' tourne sur le cercle de centre K(6,0) et de rayon $s q r t$ 3) et à l'instant t=0, M' est en B(6, $s q r t$ 3))

Soit $m_t$ le milieu de [MM'] à l'instant t.
Montrer que $m_t$ tourne également dans le sens trigonométrique sur un cercle C, à la même vitesse de rotation que M et M' et préciser le centre et le rayon de C ainsi que la position de $m_t$ à l'instant t=0

Note : Si deux points parcourent deux cercles dans le même sens, avec la même vitesse de rotation, il en est de même pour le milieu de ces deux points.

z't = 6 + 3e(2i PI t + i(PI/2))=z't = 6 + 3e(2i PI t)*e i(PI/2)
or e i(PI/2) = 1(cos(PI/2) + i sin(PI/2) = i
donc z't = 6 + 3 i e(2i PI t)
1/2 (zt + z't) = 1/2 (e(2i PI t ) + 6 + 3 i e(2i PI t)) on met e(2i PI t ) en facteur
=e(2i PI t ) (1/2 + i 3/2) +6/2
or (1/2 + i 3/2) = e(i PI/3) [par définition de l'ecriture expo comme 2°ligne]
donc
1/2 (zt + z't) = e(2i PI t) *e (iPI/3) + 3
1/2 (zt + z't) = e(2i PI t +iPI/3) + 3

dans ma première réponse la racine a disparu devant 3 (à rajouter sauf dans les 2 dernières lignes)
pour le 2) il suffit de vérifier que zt est l'affixe de Mt (en t=0 z0=affixe de A)
et z't est l'affixe de M't (en t=0 z'0=affixe de B)
1/2 (zt + z't) est l'affixe de mt donc cercle de centre H(3,0) rayon 1 et en t=0 mt est en D(3+1/2, $s q r t$ 3/2))