suites numériques et sommes

Bonjour,

J'ai deux petits problèmes si vous pouvize m'aiders'il vous plait:

Voilà dans un exercice on me demande de calculer les sommes suivantes:

b) S'=1+3+9+...+3^n
et c) S''=1/4-1/8+1/16-...+1/1048576

Bon j'ai commencer à faire cela:

b) u0 = 1
donc u1 = 3u0 = 31 = 3
et u2 = 3u1 = 33 = 9
Ainsi (un)n>= 0 est une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0 = 1
Donc S' = 1*((1-3^(3n))/(1-3))
= (1-9^n)/(-2)
= (-1+9^n)/2
et là je bloque car il y a une puissance de n donc impossible de déterminer le résultat de la somme demandé, comment faire?

et c) u0 = 1/4
donc u1 = -1/2 * 1/4 = -1/8
et u2 = -1/2 * (-1/8) = 1/6

Donc (un)n>=0 est une suite géométrique de raison q=-1/2 et de premier terme u0=-1/4

Ainsi S'' = 1/4*((1-(-1/2)^(nombre de termes))/(1+1/2))

Mais le problème est que je n'arrive pas à savoir le nombre de termes :S

Merci encore pour votre aide

Bonjour,

Il faut bien donner le résultat en fonction de n . Ta réponse semble correcte , je n'ai pas tout lu ! mais pourquoi 3^3n ... ce ne serait pas plutôt 3^(nombre de termes ) et doit rester de la forme

S = une expression contenant n

Pour le nombre de terme de la 2ème somme, il faut trouver à quelle puissance de 2 correspond 1048576

Bonjour , pour b) , vérifie tes calculs : d'où vient l'exposant 3n ?

Pour trouver la décomposition de 1048576 , regarde dans le cadre de gauche dans le menu outils, il y a un outil(Calcul arithmétique) qui permet de trouver le PGCD de 1048576 et de 1 ...

Cela te donnera la réponse.

Re ,
J'insiste ( peut-être à tort ) :
la formule proposée pour S' me semble fausse : on peut vérifier pour n=2

Bonjour,

Waw je suis impressionné de votre rapidité merci
mathtous
Re ,
J'insiste ( peut-être à tort ) :
la formule proposée pour S' me semble fausse : on peut vérifier pour n=2

Oups erreur de frappe pour la b):

Donc S' = 1*((1-3^(3^n))/(1-3))
= (1-3^(3^n))/(-2)
= (-1+3^(3^n))/2

En effet il y a 3^n terme c'est marqué dans l'énoncé :
S' = 1+3+9+...+3^n

Mais cela ne résout pas le problème, merci encore

Comme a dit Zorro , S' dépend de n : il est normal que n figure dans la formule : recalcule S' afin que l'on vérifie : un conseil , vérifie aussi ta formule pour n = 1 , n= 2

Citation
En effet il y a 3^n terme c'est marqué dans l'énoncé :
S' = 1+3+9+...+3^n
Non : 3^n est le dernier terme , ce n'est pas le nombre de termes

Ah ok, donc là comment savoir quel est le dernier terme ?

Sinon @ Zorro: le nombre de terme est donc de 20 car comme la raison est 1/2 donc il faut chercher à quel puissance est associé 2 donc 1048576 = 2^20 (d'après la calculatrice), ai-je bien compris?

Merci encore

Un seul exercice à la fois , pour le moment , je parle du b) avec S'
Je te demande de recalculer S' car la formule que tu donnes est fausse
1 + q + q² + ... + $q^n$ = ?

mathtous
Un seul exercice à la fois , pour le moment , je parle du b) avec S'
Je te demande de recalculer S' car la formule que tu donnes est fausse
1 + q + q² + ... + $q^n$ = ?

La formule je pense qu'elle est bonne car on l'a vu en cours, voici la formule en question:
S = u0 * ((1-q^n)/(1-q)) pour une suite géométrique

Merci encore

ici , u0 = 1 , mais attention aux indices : en comptant u0 , il y a n+1 termes et pas n termes
donc ici , S' = (1 - $3^{n+1}$ )/(1-3)
= $3^{n+1}$ -1)/2

Vérifie pour n= 0 , n=1 , n=2

mathtous
ici , u0 = 1 , mais attention aux indices : en comptant u0 , il y a n+1 termes et pas n termes
donc ici , S' = (1 - $3^{n+1}$ )/(1-3)
= $3^{n+1}$ -1)/2

Vérifie pour n= 0 , n=1 , n=2

Ahhh ok je comprends mieux :m
pour n=0:
= ((3^1)-1) / 2
= 1
Donc c'est bon car u0 = 1
pour n=1:
= (3^(1+1)-1)/2
= 4
pour n = 2:
= (3^(2+1)-1)/2
= 13

Bizarre 4 et 13: une erreur dans l'énoncé ?

pas d'erreur : 1+3 = 4
1+3+9 = 13
Tu peux passer à la question c)

mathtous
pas d'erreur : 1+3 = 4
1+3+9 = 13
Tu peux passer à la question c)

Ok mais ai-je le droit de marquer directement que:
S' = (3^(n+1) -1)/2 car cela dépend de n donc l'expression sera dépendant de n?
Sinon je dois marquer la vérification que l'on vient de faire pour appuyer ma réponse?
Merci encore

La vérification , c'est seulement pour toi : ça t'évitera des erreurs

Sinon : S' = (3^(n+1) -1)/2

mathtous
La vérification , c'est seulement pour toi : ça t'évitera des erreurs

Sinon : S' = (3^(n+1) -1)/2

Ok merci beaucoup pour votre aide c'est vraiment sympa de trouver des personnes présentes pour vous aider quitte à gaspiller son temps avec moi

Merci encore

Sinon pour la c) comme je l'ai dit plus haut je fais cela grâce à zorro pour trouver le nombre de termes:

le nombre de terme est donc de 20 car comme la raison est 1/2 donc il faut chercher à quel puissance est associé 2 donc 1048576 = 2^20 (d'après la calculatrice), ai-je bien compris?

Merci

oui , attention au décalage ( nombre de termes ) quand tu appliques la formule pour S''

quizz

Sinon pour la c) comme je l'ai dit plus haut je fais cela grâce à zorro pour trouver le nombre de termes:

le nombre de terme est donc de 20 car comme la raison est 1/2 donc il faut chercher à quel puissance est associé 2 donc 1048576 = 2^20 (d'après la calculatrice), ai-je bien compris?

Merci

Ok mais sinon je trouve que je ne justifie en rien que 2^20 = 1048576, donc y-a-t-il une méthode pour justifier cela?
Merci d'avance

Bonjour ,

ou bien une vérification directe ( la plus rapide possible ) :
$2^{4 }$ , $2^8$ , $2^{16}$ , $2^{20}$
ou bien un passage par les logarithmes ( au programme ?)

mathtous
Bonjour ,

ou bien une vérification directe ( la plus rapide possible ) :
$2^{4 }$ , $2^8$ , $2^{16}$ , $2^{20}$
ou bien un passage par les logarithmes ( au programme ?)

Logarithmes non car on ne l'a pas encore étudié mais merci encore pour l'aide
Donc je vais utiliser le premier choix (je peux sauter les puissance de 5 en 5 pour être plus rapide?)
Sinon toute dernière question (promis) qui n'est pas très long (j'ai fais tous les calculs):
2) Soit (un) la suite définie par u0 = 1/2 et pour tout naturel n, un+1 = un/(1+2un)

Montrer que la suite(un)n>= 0 est décroissante.
J'ai donc fait cela:
un+1-un = ( un/(1+2un)) - un
=(un²-un(1+2un)/((1+2un)un)
= (un²-un-2un²)/((1+2un)un))
= (un(-1-un))/((1+2un)un)
= (-1-un)/(1+2un) qui est inférieur à 0 car le départ u0 = 1/2 qui est strictement supérieur à 0. Donc (-1-un) < 0 et donc un+1-un < 0
Ainsi la suite (un) est décroissante

Est-ce juste (car je pense que ma justification avec le départ de u0 manque de précision non?)

Merci encore une fois

Je ne trouve pas la même chose :
c'est bien $u_{n+1}$ = $u_n$ /(1 + $2u_n$ ) ?

mathtous
Je ne trouve pas la même chose :
c'est bien $u_{n+1}$ = $u_n$ /(1 + $2u_n$ ) ?

Oui

Alors d'où viennent tous ces $u_n$ ?
$u_{n+1}$ - $u_n$ = $u_n$ /(1+2un) - un
= (un -un -2un²)/(1+2un) = ...

Je dois m'absenter
Ne pas oublier de justifier un >0 grâce à u0
Indispensable pour le signe de un+1 - un
A+

mathtous
Alors d'où viennent tous ces $u_n$ ?
$u_{n+1}$ - $u_n$ = $u_n$ /(1+2un) - un
= (un -un -2un²)/(1+2un) = ...

Aïe erreur de calcul je tombe fianlement sur:
un+1-un = -2un²/(1+2un)

Merci encore

Rebonjour ,
Ok , cette différence est négative pourvu que le dénominateur soit positif , d'où la né cessité de démontrer que un >0 pour tout n