Intégration : Calcul de volume

[CQFD]

Bonjour à toutes et tous,

Parmi des exos « de recherche » donnés en fin de chap, non notés et uniquement sur la base du volontariat (faudrait pas qu’on ait l’temps de traîner sur facebook ), je bloque partiellement sur celui-ci :

Dans (O,x,y,z) repère orthonormal, calculer le volume du solide engendré par la révolution autour de (Ox) de la partie delta du plan (xOy) définie par :

-$pi$ ≤ x ≤ $pi$
0 ≤ y ≤ sin²x

On proposera deux méthodes pour linéariser $si{n}^4$x.

Ps : Je sais d’une amie qu’il faut trouver V = 3$pi$²/4
J’ai confiance en elle, elle est balèze . . .
et ses deux parents sont profs de maths.
Et puis ça colle à la calculette.

L’expression de V ne pose pas de prbl :

$v=\pi {\int }_{-\pi }^{\pi }si{n}^{4}x,\text{d}x$

La difficulté : trouver une primitive de $si{n}^4$x

Pour une première solution, je m’en sors en linéarisant comme ceci :

f(x) = $si{n}^4$x
= sin²x . sin²x
= 1/2 ( 1 - cos2x ) . 1/2 ( 1 - cos2x )
= 1/4 ( 1 - 2.cos2x + cos²2x )
= 1/4 ( 1 - 2.cos2x + 1/2 + 1/2 cos4x ) en utilisant : cos²x = 1/2 (1 + cos2x)
. . .
= 1/8 (cos4x - 4 cos2x + 3 )

Une primitive de $si{n}^4$x est donc :

F(x) = 1/8 (1/4 sin4x - 4 . 1/2 sin2x + 3x )
= 1/32 ( sin4x – 8 sin2x + 12x )

Finalement :

V = $pi$/32 [ sin4x - 8 sin2x + 12x ] entre -$pi$ et $pi$
V = 3$pi$²/4 u.a.

Ouf, c’est correct !

Seulement, il me faut trouver une
deuxième façon de linéariser $si{n}^4$xet là, j’suis sec :rolling_eyes:

Si vous avez sur une piste . . . elle est la bienvenue

Merci d’avance.

Ps : On a fini toute l’analyse du prog

[vaccin]

bonjour
essaie d'utiliser les exponentielles imaginaires...
@+

[Tom-tom]

coucou
tu as $(a-b)$^4$=a$^4$-4a$^3$b$^1$+6a^2$b²-4ab³$+b^4$
et $sinx=(e$^{ix}$-e^{-ix}$)/2i...

p.s; eddit: oups, j'avais pas vu ton msg vaccin

[CQFD]

Salut,

Ahhhh . . . formules d’Euler ! ! ! Ca sert à quelque chose ce truc là ? Je n’y aurais pas pensé

Voyons voir :
cos θ = 1/2.$(e^{i\theta }$ + $e^{-i\theta }$)
sin θ = 1/(2i).$(e^{i\theta }$ - $e^{-i\theta }$)

Donc :
$si{n}^4$ θ = $1/(2i{)}^4$.$(e^{i\theta }$ - $e^{-iθ$}${)}^4$
$si{n}^4$ θ = 1/16.( $e^{4i\theta }$ - $4e^{3i\theta }$.$e^{-i\theta }$ + $6e^{2i\theta }$.$e^{-2i\theta }$ - $4e^{i\theta }$.$e^{-3i\theta }$ + $e^{-4i\theta }$ )
$si{n}^4$ θ = 1/16.[ $e^{4i\theta }$ + $e^{-4i\theta }$ – 4 $(e^{2i\theta }$ + $e^{-2i\theta }$) + 6 ]

avec : cos 4θ = 1/2.$(e^{4i\theta }$ + $e^{-4i\theta }$) et cos 2θ = 1/2.$(e^{2i\theta }$ + $e^{-2i\theta }$)

$si{n}^4$ θ = 1/8 cos4θ - 1/4 cos2θ + 3/8

impec !

Par rapport à la première, cette méthode fonctionne quel que soit le degré. Les formules d’Euler, ce n’est pas un si mauvais truc finalement. Reste à retenir cette flopée de formules trigo . . . une toute autre affaire.

**Merci beaucoup !**Toujours épatant ce forum

[CQFD]

Je suis entouré de scientifiques, je dénombre leurs réflexes, admire leur esprit. Je sais bien que ce sont typiquement les leurs, mais, dans mon coin, je les leur envie.

[Tom-tom]

Moi j'adore les formules d'Euler,et puis c'est souvent très utile, quand les cos ou les sin sont pénibles...
par contre les formule trigo du genre sin² = (1-cos2x)/2 je retiens jamais... je sais juste que sin²+cos²=1 (bon apres si vraiment il faut sa se retrouve)