aire d'un partie délimitée

Le but de l'exercice est de déterminer l'air de la partie hachurée par les droites d'équation x=0 et x=1, l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction carrée.

Encadrement de l'aire par deux suites.

Justifier que l'aire est encadrée par 0 et 1.
Découpons l'intervalle [0;1] en deux parties égales. Soit $A_{1 }$ et $A_2$ les points d'abscisses 0.5 et 1 sur l'axe des abscisses; les points $B_1$ , $B_{2 }$ et $B_{3 }$ de coordonnées (0;f(0.5)) , (0.5; f(0.5)) et (1;f(0.5)) et les points $C_1$ et $C_2$ les points de coordonnées (0.5; f(1)) et (1;f(1)).
a) Par quels rectangles (éventuellement vides) peut-on minorer l'aire? Posons $a_1$ la somme des aires de ces rectangles, et calculer $a_1$
b) Par quels rectangles peut-on majorer l'aire? Posons $b_1$ la somme des aires de ces rectangles, et calculer $b_1$
Découpons cette fois-ci l'intervalle [0;1] en quatres parties égales.
a) Tracer les 4 rectangles permettant de minorer l'aire recherchée. Posons $a_2$ la somme de ces aires. Justifier par un argument graphique que $a_2$ est plus grand que $a_1$ .
b) Tracer les 4 rectangles permettant de majorer l'aire recherchée. Posons $b_2$ la somme de ces aires. Justifier par un argument graphique que $b_2$ est plus petit que $b_1$ .
Dans le cadre général, on découpe l'inervalle en $2^n$ parties et on définit de manière similaire $a_n$ et $b_n$ . Géometriquement, il est clair que $a_n$ ) est croissante et (bn) décroissante. On va montrer que ces suites sont adjacentes.
a)Montrer que sur l'intervalle $k/2^n$ ; $k+1)/2^n$ ], la différence d'aire entre les deux rectangles encadrant la courbe est:
$2k+1)/8^n$
b) En déduire la valeur de $b$ _n $a_n$ , puis que ces deux suites sont adjacentes et donc convergentes vers la même limite. Quelle est cette limite?
Calcul de l'aire.
La suite $a_n$ ) converge vers l'aire de la courbe. Calculer $a_n$ en fonction de n puis en déduire l'aire recherchée.

Svp aidez moi pour la parite 4 et 5

Salut,

En rad . . . difficile d’aider sans le faire cet exo.

Soit f(x) = x² et A l’aire recherchée.

Minoration:

a1 = f(0) x 1/2 + f(1/2) x 1/2 = 1/2 (1/2²)

a2 = f(0) x 1/4 + f(1/4) x 1/4 + f(2/4) x 1/4 + f(3/4) x 1/4
= $1/4^3$ × (1² + 2² + 3²)

On découpe l'intervalle en 2n parties, donc en abscisse :

0 ; 1/2n ; 2/2n ; . . . ; (2n-1)/2n ; 2n/2n

an = $1/(2n)^3$ (1² + 2² + 3² + . . . + (2n-1)² )

Là, on est bloqué sauf si l’on sait que :

1² + 2² + 3² + . . . + k² = { k ( k+1 ) ( 2k+1) } / 6

Mais bon tout le monde sait ça par cœur ! (vive les bouquins )

Ce qui permet d’obtenir :

an = ( 8n² - 6n + 1 ) / 24n²

Majoration:

Je passe b1

b2 = f(1/4) x 1/4 + f(2/4) x 1/4 + f(3/4) x 1/4 + f(4/4) x 1/4
b2 = $1/4^3$ × (1² + 2² + 3² + 4² )

bn = $1/(2n)^3$ (1² + 2² + 3² + . . . + (2n)² )

Toujours avec :

1² + 2² + 3² + . . . + k² = { k ( k+1 ) ( 2k+1) } / 6

On aboutit à

bn = ( 8n² + 6n + 1 ) / 24n²

On peut vérifier avec n=2 que c’est bon (a2 = 0,21875 et b2 = 0,46875)

bn–an = 1/2n

(bn–an) tend vers 0 en +∞, les suites sont donc adjacentes.

Et enfin :

A = lim ∞ (an) = lim ∞ (bn) = 8/24 = 1/3

Le calcul de l’intégrale de x² entre 0 et 1 donne bien 1/3 unité d’aire (Du haut de notre grandeur, c'est devenu du calcul mental ça )

C’est un peu comme la méthode d’Euler qu’on utilise en physique, plus on découpe en fines tranches, plus c’est précis.

Ce n’est pas exactement la réponse aux questions, mais ça devrait t’aider, en espérant que ce n’est pas trop tard.

Un bon petit exo comme celui-là au bac . . . et hop . . . on revient l’année prochaine !