aire d'un partie délimitée
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Sstella54 dernière édition par
Le but de l'exercice est de déterminer l'air de la partie hachurée par les droites d'équation x=0 et x=1, l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction carrée.
Encadrement de l'aire par deux suites.
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Justifier que l'aire est encadrée par 0 et 1.
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Découpons l'intervalle [0;1] en deux parties égales. Soit A1A_{1 }A1et A2A_2A2 les points d'abscisses 0.5 et 1 sur l'axe des abscisses; les points B1B_1B1, B2B_{2 }B2et B3B_{3 }B3de coordonnées (0;f(0.5)) , (0.5; f(0.5)) et (1;f(0.5)) et les points C1C_1C1 et C2C_2C2 les points de coordonnées (0.5; f(1)) et (1;f(1)).
a) Par quels rectangles (éventuellement vides) peut-on minorer l'aire? Posons a1a_1a1 la somme des aires de ces rectangles, et calculer a1a_1a1
b) Par quels rectangles peut-on majorer l'aire? Posons b1b_1b1 la somme des aires de ces rectangles, et calculer b1b_1b1 -
Découpons cette fois-ci l'intervalle [0;1] en quatres parties égales.
a) Tracer les 4 rectangles permettant de minorer l'aire recherchée. Posons a2a_2a2 la somme de ces aires. Justifier par un argument graphique que a2a_2a2 est plus grand que a1a_1a1.
b) Tracer les 4 rectangles permettant de majorer l'aire recherchée. Posons b2b_2b2 la somme de ces aires. Justifier par un argument graphique que b2b_2b2 est plus petit que b1b_1b1. -
Dans le cadre général, on découpe l'inervalle en 2n2^n2n parties et on définit de manière similaire ana_nan et bnb_nbn. Géometriquement, il est clair que (an(a_n(an) est croissante et (bn) décroissante. On va montrer que ces suites sont adjacentes.
a)Montrer que sur l'intervalle [k/2n[k/2^n[k/2n; (k+1)/2n(k+1)/2^n(k+1)/2n], la différence d'aire entre les deux rectangles encadrant la courbe est:
(2k+1)/8n(2k+1)/8^n(2k+1)/8n
b) En déduire la valeur de bbb_n−an-a_n−an, puis que ces deux suites sont adjacentes et donc convergentes vers la même limite. Quelle est cette limite? -
Calcul de l'aire.
La suite (an(a_n(an) converge vers l'aire de la courbe. Calculer ana_nan en fonction de n puis en déduire l'aire recherchée.
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Sstella54 dernière édition par
Svp aidez moi pour la parite 4 et 5
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CCQFD dernière édition par
Salut,
En rad . . . difficile d’aider sans le faire cet exo.
Soit f(x) = x² et A l’aire recherchée.
Minoration:
a1 = f(0) x 1/2 + f(1/2) x 1/2 = 1/2 (1/2²)
a2 = f(0) x 1/4 + f(1/4) x 1/4 + f(2/4) x 1/4 + f(3/4) x 1/4
= 1/431/4^31/43 × (1² + 2² + 3²)On découpe l'intervalle en 2n parties, donc en abscisse :
0 ; 1/2n ; 2/2n ; . . . ; (2n-1)/2n ; 2n/2n
an = 1/(2n)31/(2n)^31/(2n)3 (1² + 2² + 3² + . . . + (2n-1)² )
Là, on est bloqué sauf si l’on sait que :
1² + 2² + 3² + . . . + k² = { k ( k+1 ) ( 2k+1) } / 6
Mais bon tout le monde sait ça par cœur !
(vive les bouquins
)
Ce qui permet d’obtenir :
an = ( 8n² - 6n + 1 ) / 24n²
Majoration:
Je passe b1
b2 = f(1/4) x 1/4 + f(2/4) x 1/4 + f(3/4) x 1/4 + f(4/4) x 1/4
b2 = 1/431/4^31/43 × (1² + 2² + 3² + 4² )bn = 1/(2n)31/(2n)^31/(2n)3 (1² + 2² + 3² + . . . + (2n)² )
Toujours avec :
1² + 2² + 3² + . . . + k² = { k ( k+1 ) ( 2k+1) } / 6
On aboutit à
bn = ( 8n² + 6n + 1 ) / 24n²
On peut vérifier avec n=2 que c’est bon (a2 = 0,21875 et b2 = 0,46875)
bn–an = 1/2n
(bn–an) tend vers 0 en +∞, les suites sont donc adjacentes.
Et enfin :
A = lim ∞ (an) = lim ∞ (bn) = 8/24 = 1/3
Le calcul de l’intégrale de x² entre 0 et 1 donne bien 1/3 unité d’aire (Du haut de notre grandeur, c'est devenu du calcul mental ça
)
C’est un peu comme la méthode d’Euler qu’on utilise en physique, plus on découpe en fines tranches, plus c’est précis.
Ce n’est pas exactement la réponse aux questions, mais ça devrait t’aider, en espérant que ce n’est pas trop tard.
Un bon petit exo comme celui-là au bac . . . et hop . . . on revient l’année prochaine !