Limite de suite - Aire triangle et courbe



  • Bonjour !

    J'ai trois courbes représentatives des fonctions suivantes :

    c1:y=1xc_1 : y = \frac{1}{\sqrt{x}}
    c2:y=1xc_2 : y = \frac{1}{x}
    c3:y=1xxc_3 : y = \frac{1}{x\sqrt{x}}

    A(1;1) ; n≥2 T(n;0) et les points M, N et P de c1;c2c_1 ; c_2 et c3c_3 ont pour abscisse n.
    On note an;bna_n ; b_n et cnc_n les aires ATM, ATN et ATP.

    Je dois tout d'abord montrer que ces triangles ont tous une hauteur commune, puis préciser quelles sont les bases correspondantes.

    Pour cela j'avais commencé a répondre par :

    Le point T et les points M,N et P ont la même abscisse n, donc les points M,N et P sont réciproquement placés sur la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par T, sur les graphiques 1, 2 et 3, d'ou la hauteur commune à ces trois triangles, aux bases respectives de [MT), [TN) et [TP).

    J'ai écrit ca comme je comprenais, et pour la notation d'une base, je sais pas si on peut noter comme une demie droite.
    Dans la suite de l'exercice, on parle de :
    limite de la hauteur commune quand n tend vers +∞;
    limite des bases correspondantes quand n tend vers +∞;
    limite de suite (an)(bn)(a_n) (b_n) et (cn)(c_n);
    expression de an;bna_n ; b_n et cnc_n en fonction de n
    puis limite de ces trois suites.

    Merci d'avance pour votre aide !



  • Bonjour,
    Le mot "base" , comme souvent , peut prendre plusieurs sens selon le contexte :
    il peut s'agir d'un segment , tel que [MT] , ou de la longueur de ce segment : MT.
    La hauteur commune des triangles est la distance du point A à la droite (MT) : c'est n-1.



  • http://pics.imagup.com/02/1238953064_courbes.jpg

    Voici les courbes



  • Désolé , je ne vois rien.



  • D'accord, je comprends que ce soit n-1 car n est l'abscisse de M et de T, et -1 car le point a a pour abscisse 1, d'ou h=n-1.

    Mon premier raisonnement est il juste ? Dois je simplement finir en disant que cette hauteur commune est n-1 ?

    Quand on me parle de bases correspondantes, je ne saisis pas si on me parle de longeur, de droite, demie droite ou de segment !



  • Ah bon pourtant moi oui je le vois dans le post.

    voici le lien sinon : http://pics.imagup.com/02/1238953064_courbes.jpg



  • Ton raisonnement est juste.
    Citation
    Le mot "base" , comme souvent , peut prendre plusieurs sens selon le contexte :
    il peut s'agir d'un segment , tel que [MT] , ou de la longueur de ce segment : MT.

    Ici , il s'agit plutôt de longueurs car on te parle ensuite d'aires.



  • D'accord.

    Mon premier raisonnement est il juste ? Dois je simplement finir en disant que cette hauteur commune est n-1 ? Et préciser les bases correspondantes, je fais comment pour les exprimer ?



  • La base du premier triangle est la longueur MT : elle vaut yMy_M - yTy_T = 1/√n
    (J'imagine que x , et bien sûr n , sont positifs ? )



  • ok. Oui il est précisé que n ≥2 soit x aussi.

    J'ai donc les bases correspondantes des triangles ATM, ATN et ATP qui sont les longueurs MT, NT et PT. Elles valent :
     ymyt=1n\ y_m - y_t = \frac{1}{\sqrt{n}}
    ynyt=1ny_n - y_t = \frac{1}{n}
    ymyt=1nny_m - y_t = \frac{1}{n\sqrt{n}}

    Les points M, N, P et T on la même abscisse, et A(1,1). La hauteur commune a ces triangles est la hauteur h=n-1.



  • Oui.
    Tu peux donc donner les limites de la hauteur et des bases.
    Ensuite , calculant les aires , tu pourras donner leurs limites.



  • Ok
    Je passe a la limite de la hauteur :

    lim n-1 = +∞
    n→+∞
    n≥2

    Limite des bases correspondantes :

    lim \fra1n\fra{1}{\sqrt{n}} = 0
    n→+∞
    n≥2

    lim \fra1n\fra{1}{n} = 0
    n→+∞
    n≥2

    lim \fra1nn\fra{1}{n\sqrt{n}} = 0
    n→+∞
    n≥2

    Ensuite je ne comprends pas quelque chose :

    Les questions suivantes sont, dans cet ordre :

    • Quelle est la limite des bases correspondantes quand n tend vers +∞ ? Peut-on en déduire les limites des suites (an)(a_n) ; (bn)(b_n) et (cn)(c_n) ?
    • Exprimer ana_n ; bnb_n et cnc_n en fonction de n et en déduire les limites de ces trois suites.

    ---> Pourquoi me demande t on si l'on peut déduire les limites des suites ?



  • Inutile d'écrire à chaque fois n≥2 , car s'il tend vers +∞ , il sera forcément supérieur à 2.
    Pour obtenir les aires , tu multiplies la base par la hauteur correspondante , et tu n'oublies pas de diviser par 2.
    Or , la hauteur tendant vers ∞ et la base tendant vers 0 , tu ne peux donc
    rienen déduire concernant les limites des aires : on a une forme indéterminée : 0*∞ .
    Pour lever cette indétermination , il faut donc calculer les aires et y regarder de plus près.



  • Ok jetais pas sur pour le n≥2.
    J'avais vu la forme indéterminée.

    Donc j'ai, en fonction de n, les suites suivantes :

    ana_n = f(x)=n1n2=n12nf(x) = \frac {\frac{n-1}{\sqrt{n}} }{2} = \frac {n-1}{2\sqrt{n}}

    bnb_n = f(x)=n1n2=n12nf(x) = \frac {\frac{n-1}{n} }{2} = \frac {n-1}{2n}

    cnc_n = f(x)=n1nn2=n12nnf(x) = \frac {\frac{n-1}{n\sqrt{n}} }{2} = \frac {n-1}{2n\sqrt{n}}



  • Oui , il faut maintenant chercher leurs limites lorsque x →+∞
    En ce qui concerne le "n≥2" , cela est sans importance : tu peux le mettre ou ne pas le mettre.



  • Vous dites de chercher leurs limites lorsque x tend vers +∞ car c'est un cas de suites définies par des fonctions ?

    Je trouve cette limite lorsque x→+∞ puis j'écris la limite de la suite quand n→+∞ c'est ça ?



  • Non , c'est une faute de frappe : je voulais dire lorsque n →+∞
    Mais c'est sans importance : que ce soit x ou n , le raisonnement est le même .



  • ok bon alors j'ai :

    lim
    n→+∞ n12n\frac{n-1}{2\sqrt{n}} =

    lim
    n→+∞ n\sqrt{n} x n12n\frac{n-1}{2n}= +∞


    lim
    n→+∞ n12n\frac{n-1}{2n} =

    lim
    n→+∞ n x 11n2\frac {1-\frac{1}{n} }{2} = ???


    lim
    n→+∞ n12nn\frac{n-1}{2n\sqrt{n}} = ???


    Je comprends pas trop de ce que je fais, j'arrive pas a trouver les limites de ces suites



  • Le premier résultat est juste , mais c'est peut-être en effet un hasard.
    Dans la seconde , tu as perdu un n au dénominateur.

    Je te montre pour la première :
    (n-1)/2√n = n(1 - 1/n)/2√n : j'ai mis n en facteur au numérateur
    = (n/2√n)(1 - 1/n)
    = (√n/2)
    (1 - 1/n)
    Lorsque n → +∞ , la parenthèse tend vers 1 car 1/n tend vers 0
    Donc la limite est celle de √n/2 qui tend évidemment vers +∞ avec n.

    Il y avait des "n" au numérateur ( initial ) et des "√n" au dénominateur : concrètement , les "n" l'emportent sur les "√n" .



  • ok j'ai compris alors pour la deuxieme j'ai trouvé 1/2

    et pour la troisieme il faut que je factorise par n√n ?



  • D'accord pour la seconde.
    Pour la troisième , on factorise , on ne factorise pas "par" ...
    Personnellement je factoriserais n au numérateur ( comme pour la première ) .



  • Ouuuh... ok pour l'utilisation du mot factoriser 😄

    Oui, donc je trouve +∞



  • Pas moi.
    Il y a encore plus simple que de factoriser : utiliser le résultat de bnb_n :
    cnc_n = (1/√n)bnn)*b_n
    Or , bnb_n → 1/2 et 1/√n → 0 , donc cnc_n → 0



  • Je comprends ce que j'ai fait :

    la limite de 1-1/n = 1
    et la limite de 2√n = +∞

    donc "la limite de Cn est +∞" comme si c'était un produit. Donc non, la limite de Cn en +∞ est bien 0.

    Mais j'aime bien votre solution aussi.



  • J'espère que tu as tout compris .
    A+



  • Merci, c'est parfait. J'ai tout fini, à la prochaine 😉



  • Au revoir.


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